|
В заключение приведём сравнительную характеристику разностных схем,
аппроксимирующих двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее первых
производных по координатам x и y:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) - ku + f(t, x, y); \qquad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\) |
|
При записи разностных схем использованы обозначения (7.6).
1. Явная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^n + \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^n - k u_{j,k}^n + f_{j,k}^n.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2).\)
Условно устойчива \(\displaystyle \Delta t \le \left( \frac{2\sigma}{h_x^2} + \frac{2\sigma}{h_y^2} + \frac{k}{2} \right)^{-1}.\)
Решается с помощью рекуррентного соотношения (7.5).
2. Схема расщепления
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^n, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1}.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая подсхема решается с помощью метода прогонки.
3. Схема переменных направлений
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^n, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x^2, h_y^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая подсхема решается с помощью метода прогонки.
4. Схема со стабилизирующей поправкой
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^n - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^n, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1} - \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^n.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая подсхема решается с помощью метода прогонки.
5. Схема предиктор-корректор
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/4}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x^2, h_y^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая из подсхем предиктора решается с помощью метода прогонки; корректор
(третья подсхема) - с помощью рекуррентного соотношения (7.18).
|