|
Используя введённые обозначения, запишем аппроксимацию дифференциальных
операторов, составляющих уравнение (7.1), в точке \(\displaystyle (t^{n},\, x_{j},\, y_{k})\). Для аппроксимации производной функции u
по времени обычно используется правая конечная разность (со стабилизацией значения независимой переменной
х в точке с порядковым номером j, а значения независимой переменной y в точке
с порядковым номером k):
| |
\(\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t^{n},\, x_{j},\, y_{k}} \rightarrow \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t}.\) |
|
Для аппроксимации второй производной функции u по координате х будем использовать
разностный оператор (2.12) (со стабилизацией значения независимой переменной y в точке с
порядковым номером k, а значения независимой переменной t в точке с порядковым номером n):
| |
\(\displaystyle \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_{t^{n},\, x_{j},\, y_{k}} \rightarrow \lambda_{xx} u_{j,k}^{n} = \frac{u_{j+1,k}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j-1,k}^{n}}{h_x^2}.\) |
|
Для аппроксимации второй производной функции u по координате y также будем использовать разностный оператор
(2.12) (со стабилизацией значения независимой переменной х в точке с порядковым номером j,
а значения независимой переменной t в точке с порядковым номером n):
| |
\(\displaystyle \left.\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right|_{t^{n},\, x_{j},\, y_{k}} \rightarrow \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} = \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2}.\) |
|
Подставляя записанные разностные операторы в дифференциальное уравнение (7.1),
получаем явную разностную схему, аппроксимирующую уравнение (7.1) в точке \(\displaystyle (t^{n},\, x_{j},\, y_{k})\):
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \frac{u_{j+1,k}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j-1,k}^{n}}{h_x^2} + \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2} \right) - k u_{j,k}^{n} + f_{j,k}^{n}.\) |
(7.2) |
Рассматривая аппроксимацию обеих производных второго порядка на (n + 1)-ом шаге по времени, получаем неявную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \frac{u_{j+1,k}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j-1,k}^{n+1}}{h_x^2} + \frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2} \right) - k u_{j,k}^{n+1} + f_{j,k}^{n}.\) |
(7.3) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, использованных при составлении
разностных схем (7.2), (7.3), легко видеть, что они имеют первый порядок аппроксимации по
времени и второй - по каждой из координат:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t,\, h_x^2,\, h_y^2).\) |
|
|