Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Разностная сетка для двумерных задач.

Учебник · Глава 7

Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа.

2. Разностная сетка для двумерных задач.

Запишем двумерное дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее первых производных по координатам x и y, в следующем общем виде:

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) - ku + f(t, x, y); \qquad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\)

(7.1)

Уравнение (7.1) должно быть дополнено начальным и двумя граничными условиями по каждой из пространственных координат (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):

\(\displaystyle u\,(t=0,\, x,\, y) = \xi(x,\, y); \qquad \begin{cases} u\,(t,\, x=a,\, y) = \varphi_1(t,\, y), \\ u\,(t,\, x=b,\, y) = \varphi_2(t,\, y); \end{cases} \qquad \begin{cases} u\,(t,\, x,\, y=c) = \psi_1(t,\, x), \\ u\,(t,\, x,\, y=d) = \psi_2(t,\, x). \end{cases}\)

Пусть для независимых переменных заданы следующие интервалы их изменения:

\(\displaystyle t \in \left[0, t_k\right], \qquad x \in \left[a, b\right], \qquad y \in \left[c, d\right].\)

Разбивая каждый из этих интервалов на некоторое количество равных частей (по аналогии с тем, как это было сделано в случае двух независимых переменных), получим разностную сетку, которая в данном случае будет трёхмерной (см. рисунок). Введём следующие обозначения:
       n - порядковый номер точки деления по оси t;
       j - порядковый номер точки деления по оси x;
       k - порядковый номер точки деления по оси y;
       \(\displaystyle t^{n+1} - t^{n} = \Delta t\) - величина интервала между точками по оси t;
       \(\displaystyle x_{j+1} - x_{j} = \Delta x = h_x\) - величина интервала между точками по оси x;
       \(\displaystyle y_{k+1} - y_{k} = \Delta y = h_y\) - величина интервала между точками по оси y;
       \(\displaystyle u\,(t^{n},\, x_{j},\, y_{k}) = u_{j,k}^{n}\) - значение функции u, соответствующее точкам \(\displaystyle t^{n},\, x_{j},\, y_{k}\);
       \(\displaystyle f\,(t^{n},\, x_{j},\, y_{k}) = f_{j,k}^{n}\) - значение функции f, соответствующее точкам \(\displaystyle t^{n},\, x_{j},\, y_{k}\).
     Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом:
         по оси t: n = 0, 1, 2, ..., M;
         по оси x: j = 1, 2, 3, ..., N_x;
         по оси y: k = 1, 2, 3, ..., N_y.
Тогда значения переменных t, x и y в точках разностной сетки будут определяться согласно следующему правилу:

\(\displaystyle t^{0} = 0, \quad t^{1} = \Delta t, \quad t^{2} = 2\Delta t, \quad \ldots, \quad t^{n} = n \cdot \Delta t; \qquad x_1 = a, \quad x_2 = a + h_x, \quad x_3 = a + 2h_x, \quad \ldots, \quad x_j = a + (j-1)h_x; \qquad y_1 = c, \quad y_2 = c + h_y, \quad y_3 = c + 2h_y, \quad \ldots, \quad y_k = c + (k-1)h_y.\)

← 1. Примеры двумерных дифференциальных уравнений параболического типа 3. Аппроксимация дифференциальных операторов →