|
4.2. Метод решения.
Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий
явную разностную схему (7.2), свидетельствует о том, что она содержит одну неизвестную величину -
значение функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы,
получаем рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} (u_{j+1,k}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j-1,k}^{n}) + \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} (u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}) - k \Delta t\, u_{j,k}^{n} + \Delta t\, f_{j,k}^{n},\) |
(7.5) |
позволяющее рассчитать все значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени
(при известных значениях функции u на n-ом шаге), кроме значений \(\displaystyle u_{1,k}^{n+1},\, u_{N_x,k}^{n+1},\, u_{j,1}^{n+1},\, u_{j,N_y}^{n+1}\),
определяемых с помощью граничных условий. Если заданы граничные условия 1-го рода,
то эти значения определяются непосредственно из разностной аппроксимации граничных условий:
| |
\(\displaystyle \begin{cases} u_{1,k}^{n+1} = \varphi_1(t^{n+1},\, y_k) \\ u_{N_x,k}^{n+1} = \varphi_2(t^{n+1},\, y_k) \end{cases} \qquad \begin{cases} u_{j,1}^{n+1} = \psi_1(t^{n+1},\, x_j) \\ u_{j,N_y}^{n+1} = \psi_2(t^{n+1},\, x_j) \end{cases}\) |
|
Если заданы граничные условия 2-го или 3-го рода, то значения \(\displaystyle u_{1,k}^{n+1},\, u_{N_x,k}^{n+1},\, u_{j,1}^{n+1},\, u_{j,N_y}^{n+1}\)
можно определить, выразив их из разностной аппроксимации граничных условий.
Используя обозначение, принятое для разностного оператора (2.12)
| |
\(\displaystyle \lambda_{xx} u_{j,k}^{n} = \frac{u_{j+1,k}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j-1,k}^{n}}{h_x^2}, \qquad \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} = \frac{u_{j,k+1}^{n} - 2u_{j,k}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{h_y^2},\) |
(7.6) |
запишем рекуррентное соотношение (7.5) в более компактном виде:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + \sigma \Delta t\, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n} + \sigma \Delta t\, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} - k \Delta t\, u_{j,k}^{n} + \Delta t\, f_{j,k}^{n}.\) |
|
|
