|
В заключение приведём сравнительную характеристику разностных схем,
аппроксимирующих одномерное дифференциальное уравнение параболического типа, содержащее производную по
координате первого порядка:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - ku + f(t, x); \qquad k \ge 0, \quad v > 0, \quad \sigma > 0.\) |
|
1. Явная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = \sigma \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - k u_j^n + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h).\)
Условно устойчива \(\displaystyle v \frac{\Delta t}{h} + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} + \frac{1}{2} k \Delta t \le 1.\)
Решается с помощью рекуррентного соотношения (6.4).
2. Неявная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h).\)
Абсолютно устойчива.
Решается методом прогонки.
3. Разностная схема Кранка-Николсона
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + \frac{v}{2} \frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} + \frac{v}{2} \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h).\)
Абсолютно устойчива.
Решается методом прогонки.
Напомним, что в случае v < 0 для аппроксимации
производной по координате первого порядка следует использовать правую конечную разность.
Вне зависимости от знака параметра v (или в случае,
когда v является знакопеременной величиной) может быть также использована
неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате первого порядка
центральной конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{2h} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h^2).\)
Абсолютно устойчива.
Решается методом прогонки, сходящейся при выполнении одного из условий: (6.9) или (6.10).
|