|
При описании методов решения дифференциальных уравнений
параболического типа, не содержащих производную по координате первого порядка,
рассматривалась разностная схема Кранка-Николсона, обладающая абсолютной устойчивостью и
вторым порядком аппроксимации по времени (в отличие от явной и неявной разностных схем).
Запишем разностную схему Кранка-Николсона для уравнения (6.1):
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + \frac{v}{2} \frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} + \frac{v}{2} \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + \frac{\sigma}{2} \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
(6.7) |
Обратим внимание, что для сохранения второго порядка аппроксимации по времени производную по
координате первого порядка необходимо представить также, как и производную по координате второго
порядка, т.е. в виде суммы двух слагаемых, одно из которых аппроксимируется на (n + 1)-ом
шаге по времени, а другое - на n-ом шаге по времени.
Разностная схема (6.7) является абсолютно устойчивой (доказательство в силу сложности не приводится) и имеет порядок аппроксимации:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t^2, h).\) |
|
Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий разностную схему (6.7),
свидетельствует о том, что она содержит три неизвестные величины - значения функции u
на (n + 1)-ом шаге по времени. Следовательно, для её решения необходимо использовать
метод прогонки.
Приведём разностную схему (6.7) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{2h^2} u_{j+1}^{n+1} + \left( 1 + v \frac{\Delta t}{2h} + \sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k \Delta t \right) u_j^{n+1} - \left( v \frac{\Delta t}{2h} + \sigma \frac{\Delta t}{2h^2} \right) u_{j-1}^{n+1} = u_j^n + \frac{\sigma \Delta t}{2h^2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) - v \frac{\Delta t}{2h} (u_j^n - u_{j-1}^n) + \Delta t\, f(t^n, x_j).\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = -\sigma \frac{\Delta t}{2h^2}, \quad b_j = 1 + v \frac{\Delta t}{2h} + \sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k \Delta t, \quad c_j = -v \frac{\Delta t}{2h} - \sigma \frac{\Delta t}{2h^2}, \quad \xi_j^n = u_j^n + \frac{\sigma \Delta t}{2h^2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) - v \frac{\Delta t}{2h} (u_j^n - u_{j-1}^n) + \Delta t\, f(t^n, x_j).\) |
|
Легко видеть, что для разностной схемы (6.7) достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| a_j \right| + \left| c_j \right| = v \frac{\Delta t}{2h} + \frac{\sigma \Delta t}{h^2} < 1 + v \frac{\Delta t}{2h} + \frac{\sigma \Delta t}{h^2} + k \Delta t = \left| b_j \right|.\) |
|
Алгоритм решения, а также методики определения прогоночных коэффициентов
и решения на правой границе аналогичны описанным ранее.
|
