|
5.1. Характеристика.
Неявная разностная схема для уравнения (6.1) при аппроксимации
производной по координате первого порядка центральной конечной разностью имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{2h} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
(6.8) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, составляющих данную разностную схему, легко видеть,
что она аппроксимирует дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком по времени,
и со вторым - по координате:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h^2).\) |
|
Исследуем устойчивость разностной схемы (6.8) с помощью спектрального метода.
Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^{n}, x_{j})\), наличие которого, как известно,
не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} + v \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{2h} = \sigma \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{h^2} - k \lambda^{n+1} e^{i\alpha j}.\) |
|
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \underline{\lambda^n e^{i\alpha j}}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v \frac{\lambda e^{i\alpha} - \lambda e^{-i\alpha}}{2h} = \sigma \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} - k \lambda.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v \lambda \frac{2 i \sin \alpha}{2h} = -\lambda \frac{\sigma}{h^2} 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - k \lambda.\) |
|
Группируя члены, содержащие λ,
в левой части уравнения, выразим величину, обратную λ:
| |
\(\displaystyle \lambda \left( 1 + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t + v \frac{\Delta t}{h} i \sin \alpha \right) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\lambda} = 1 + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t + v \frac{\Delta t}{h} i \sin \alpha.\) |
|
Определим модуль полученного комплексного числа:
| |
\(\displaystyle \left| \frac{1}{\lambda} \right| = \sqrt{ \left( 1 + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t \right)^2 + \left( v \frac{\Delta t}{h} \sin \alpha \right)^2 } \ge 1 \qquad \Rightarrow \qquad \left| \lambda \right| \le 1.\) |
|
Таким образом, собственные числа оператора перехода, удовлетворяют условию устойчивости разностных схем (3.8).
Следовательно, неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате первого порядка
центральной конечной разностью (6.8) абсолютно устойчива, причём вне зависимости от знака параметра v.
|