|
2.2. Порядок аппроксимации. Метод решения.
Для определения порядка аппроксимации явной разностной схемы (6.2) подставим в неё
выражения (2.16)-(2.18), описывающие разложение значений \(\displaystyle u_j^{n+1},\ u_{j+1}^n,\ u_{j-1}^n\)
в ряд Тейлора относительно точки \(\displaystyle (t^n, x_j)\) на разностной сетке:
| |
\(\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^n + \frac{1}{2} \left.\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right|_j^n \Delta t - v \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^n + \frac{v}{2} \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^n h = \sigma \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^n + \frac{\sigma}{12} \left.\frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\right|_j^n h^2 - k u_j^n + f(t^n, x_j) \qquad \Rightarrow \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_j^n + O(\Delta t) - v \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_j^n + O(h) = \sigma \left.\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right|_j^n + O(h^2) - k u_j^n + f(t^n, x_j).\) |
|
Так как ошибка O(h) является более грубой, чем \(\displaystyle O(h^2) : O(h) > O(h^2)\), явная разностная схема (6.2) аппроксимирует исходное
дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком и по времени, и по координате:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t) + O(h) \qquad \text{или} \qquad O(\Delta t, h).\) |
|
Разностный шаблон
(см. рисунок), характеризующий явную разностную схему (6.2), свидетельствует о том, что она содержит
одну неизвестную величину - значение функции u на (n + 1)-ом шаге по времени.
Выражая эту величину из разностной схемы, получаем рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = u_j^n + v \frac{\Delta t}{h} (u_{j-1}^n - u_j^n) + \sigma \frac{\Delta t}{h^2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) - k \Delta t\, u_j^n + \Delta t\, f(t^n, x_j),\) |
(6.4) |
позволяющее рассчитать все значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени
(при известных значениях функции u на n-ом шаге), кроме значений \(\displaystyle u_1^{n+1},\ u_N^{n+1}\),
определяемых с помощью граничных условий. Если заданы граничные условия 1-го рода,
то значения \(\displaystyle u_1^{n+1},\ u_N^{n+1}\) определяются непосредственно из их разностной аппроксимации; если 2-го или 3-го рода,
то - с помощью соотношений (4.4a) и (4.4b). Таким образом, алгоритм решения явной разностной схемы (6.2)
аналогичен алгоритму решения явной разностной схемы (4.2), аппроксимирующей дифференциальное
уравнение параболического типа, не содержащее производную по координате первого порядка.
|
