Учебник · Глава 6
Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих производную по координате первого порядка.
3. Неявная разностная схема.
|
3.2. Метод решения.
Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий неявную
разностную схему (6.5), свидетельствует о том, что она содержит три неизвестные величины - значения
функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Следовательно, для решения данной разностной схемы необходимо
использовать метод прогонки.
Приведём разностную схему (6.5) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{h^2} u_{j+1}^{n+1} + \left( 1 + v \frac{\Delta t}{h} + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k \Delta t \right) u_j^{n+1} - \left( v \frac{\Delta t}{h} + \sigma \frac{\Delta t}{h^2} \right) u_{j-1}^{n+1} = u_j^n + \Delta t\, f(t^n, x_j).\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h^2}, \qquad b_j = 1 + v \frac{\Delta t}{h} + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k \Delta t, \qquad c_j = -v \frac{\Delta t}{h} - \sigma \frac{\Delta t}{h^2}, \qquad \xi_j^n = u_j^n + \Delta t\, f(t^n, x_j).\) |
|
Легко видеть, что для разностной схемы (6.5) достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| a_j \right| + \left| c_j \right| = v \frac{\Delta t}{h} + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} < 1 + v \frac{\Delta t}{h} + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k \Delta t = \left| b_j \right|.\) |
|
Алгоритм решения, а также методики определения прогоночных коэффициентов и решения на правой
границе аналогичны описанным ранее.
|
