|
3.1. Характеристика.
Неявная разностная схема для уравнения (6.1) имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
(6.5) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, составляющих данную разностную схему,
легко видеть, что она, как и явная разностная схема (6.2), аппроксимирует дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком и по времени,
и по координате:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h).\) |
|
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (6.5) с
помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^n, x_j)\), наличие которого, как известно, не
оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} + v \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{h} = \sigma \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} - 2\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} + \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{h^2} - k \lambda^{n+1} e^{i\alpha j}.\) |
|
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i\alpha j}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v \frac{\lambda - \lambda e^{-i\alpha}}{h} = \sigma \frac{\lambda e^{i\alpha} - 2\lambda + \lambda e^{-i\alpha}}{h^2} - k \lambda.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v \frac{\lambda - \lambda e^{-i\alpha}}{h} = -\lambda \frac{\sigma}{h^2} 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - k \lambda.\) |
|
Группируя члены, содержащие λ, в левой части уравнения, выразим величину, обратную λ:
| |
\(\displaystyle \lambda \left( 1 + v \frac{\Delta t}{h} + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t - v \frac{\Delta t}{h} e^{-i\alpha} \right) = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\lambda} = 1 + v \frac{\Delta t}{h} + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t - v \frac{\Delta t}{h} e^{-i\alpha}.\) |
|
При этом необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также преобразуем к виду:
| |
\(\displaystyle \left|\lambda\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{1}{\lambda}\right| \ge 1.\) |
(6.6) |
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы
(6.5) согласно условию (6.6) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора перехода,
были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат
комплексной плоскости.
Введём следующие обозначения:
| |
\(\displaystyle r = v \frac{\Delta t}{h} > 0, \quad q = v \frac{\Delta t}{h} + 4\sigma \frac{\Delta t}{h^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + k \Delta t > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\lambda} = 1 + q - r e^{-i\alpha}.\) |
|
Следовательно, величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной
плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 + q;\ 0)\) и радиусом r (см. рисунок). Данная окружность
находится вне круга, соответствующего условию устойчивости, при любом значении r. Это означает, что
неявная разностная схема (6.5) абсолютно устойчива.
|
