|
5.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.4) с помощью
спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^n, x_j)\),
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы,
и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle u_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad\Rightarrow\quad \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} + v\frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha(j+1)} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha j}}{h} = 0.\) |
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\),
и выражаем величину, обратную λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v\frac{\lambda e^{i\alpha} - \lambda}{h} = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda\left(1 - v\frac{\Delta t}{h} + v\frac{\Delta t}{h} e^{i\alpha}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 - v\frac{\Delta t}{h} + v\frac{\Delta t}{h} e^{i\alpha}.\) |
|
При этом необходимое условие устойчивости разностных схем (5.6) также преобразуем к виду:
| |
\(\displaystyle \left|\lambda\right| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \left|\frac{1}{\lambda}\right| \ge 1.\) |
(5.7) |
Неравенство (5.7) в применении к комплексным числам означает, что для устойчивости разностной схемы
(5.4) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора
перехода, были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале
координат комплексной плоскости (см. рисунок).
1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle r = -v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 + r - r e^{i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора
перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 + r;\ 0)\) и радиусом:
| |
\(\displaystyle \left| r e^{i\alpha} \right| = \left| r\cos\alpha + i\sin\alpha \right| = \sqrt{r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha} = r.\) |
|
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении r
(см. рисунок). Таким образом, при отрицательном значении параметра v неявная
разностная схема (5.4) будет устойчива.
2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle q = v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 - q + q e^{i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода,
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 - q;\ 0)\) и радиусом q.
Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.7), получаем три
различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая величинам \(\displaystyle 1/\lambda\),
при q < 1 находится внутри круга, соответствующего условию (5.7); при q > 1 - вне этого круга;
а при q = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при положительном значении параметра v неявная разностная
схема (5.4) будет устойчива при выполнении следующего условия:
| |
\(\displaystyle q = v\frac{\Delta t}{h} \ge 1.\) |
|
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что неявная
разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (5.4)
будет устойчива при выполнении одного из условий:
| |
\(\displaystyle v < 0 \quad \text{или} \quad v\frac{\Delta t}{h} \ge 1.\) |
(5.8) |
Из соотношения (5.8) видно, что в частном случае при отрицательном значении параметра v
рассматриваемая разностная схема является абсолютно устойчивой.
|
