|
3.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.2) с помощью
спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^n, x_j)\),
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы,
и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle u_j^n = \lambda^n e^{i \alpha j} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\lambda^{n+1} e^{i \alpha j} - \lambda^n e^{i \alpha j}}{\Delta t} + v \frac{\lambda^n e^{i \alpha (j+1)} - \lambda^n e^{i \alpha j}}{h} = 0.\) |
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части
на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\),
и выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v \frac{e^{i \alpha} - 1}{h} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 1 + v \frac{\Delta t}{h} - v \frac{\Delta t}{h} e^{i \alpha}.\) |
|
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что необходимое условие
устойчивости разностных схем (3.8) также следует рассматривать в применении к комплексным
числам. То есть, неравенство
| |
\(\displaystyle \left| \lambda \right| \le 1\) |
(5.6) |
означает, что для того чтобы разностная схема была устойчива, необходимо чтобы собственные
числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр
которого находится в начале координат комплексной плоскости (см. рисунок).
1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle r = -v \frac{\Delta t}{h} > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 1 - r + r e^{i \alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 - r; 0)\) и радиусом:
| |
\(\displaystyle \left| r e^{i\alpha} \right| = \left| r\cos\alpha + i\sin\alpha \right| = \sqrt{r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha} = r.\) |
|
Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6),
получаем три различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность,
соответствующая собственным числам оператора перехода, при r < 1 находится
внутри круга, соответствующего условию (5.6); при r > 1 - вне этого круга;
а при r = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении
параметра v явная разностная схема (5.2) будет устойчива при выполнении
следующего условия:
| |
\(\displaystyle r = -v \frac{\Delta t}{h} \le 1.\) |
|
2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle q = v \frac{\Delta t}{h} > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 1 + q - q e^{i \alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 + q; 0)\) и радиусом q.
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении q (см. рисунок).
Таким образом, при положительном значении параметра v явная разностная схема (5.2)
будет неустойчива.
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод,
что явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной
разностью (5.2) является условно устойчивой;
условие устойчивости имеет вид:
| |
\(\displaystyle -1 \le v \frac{\Delta t}{h} < 0.\) |
|
|
