Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка.

Учебник · Глава 5

Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

2. Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка

Для дифференциального уравнения (5.1) введём разностную сетку и рассмотрим аппроксимацию производных в точке . Для аппроксимации производной функции u по времени обычно используется правая конечная разность (со стабилизацией значения независимой переменной х в точке с порядковым номером j):

Для аппроксимации производной функции u по координате х может быть использована как правая конечная разность, так и левая конечная разность; причём стабилизация значения независимой переменной t может быть как на n-ом шаге по времени (т.е. в точке tⁿ), так и на (n + 1)-ом шаге по времени (т.е. в точке tⁿ⁺¹). Данный выбор позволяет записать для уравнения (5.1) четыре разностные схемы:
1. явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью

(5.2)

2. явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью

(5.3)

3. неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью

(5.4)

4. неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью

(5.5)

Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, из которых составлены разностные схемы (5.2)-(5.5), легко видеть, что каждая из них имеет первый порядок аппроксимации и по времени, и по координате:

Чтобы выяснить, какие из разностных схем (5.2)-(5.5) лучше всего подходят для численного решения уравнения (5.1), необходимо провести исследование их устойчивости и сравнить методы их решения.

← 1. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го поряд 3.1. Исследование устойчивости →