Учебник · Глава 5
Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
2. Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка
|
Для дифференциального уравнения (5.1) введём
разностную сетку и рассмотрим аппроксимацию производных в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\).
Для аппроксимации производной функции u по времени обычно используется правая
конечная разность (со стабилизацией значения независимой переменной х в точке с
порядковым номером j):
| |
\(\displaystyle \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t^n, x_j} \qquad \rightarrow \qquad \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t}.\) |
|
Для аппроксимации производной функции u
по координате х может быть использована как правая конечная разность,
так и левая конечная разность; причём стабилизация значения независимой переменной t
может быть как на n-ом шаге по времени (т.е. в точке tn),
так и на (n + 1)-ом шаге по времени (т.е. в точке tn+1).
Данный выбор позволяет записать для уравнения (5.1) четыре разностные схемы:
1. явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = f(t^n, x_j);\) |
(5.2) |
2. явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = f(t^n, x_j);\) |
(5.3) |
3. неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = f(t^n, x_j);\) |
(5.4) |
4. неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v \frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = f(t^n, x_j).\) |
(5.5) |
Учитывая порядок аппроксимации разностных
операторов, из которых составлены разностные схемы (5.2)-(5.5), легко видеть, что
каждая из них имеет первый порядок аппроксимации и по времени, и по координате:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h).\) |
|
Чтобы выяснить, какие из разностных схем (5.2)-(5.5)
лучше всего подходят для численного решения уравнения (5.1), необходимо провести
исследование их устойчивости и сравнить методы их решения.
|