|
6.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.5) с помощью спектрального метода.
Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^n, x_j)\), наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость
разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle u_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad\Rightarrow\quad \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} + v\frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^{n+1} e^{i\alpha(j-1)}}{h} = 0.\) |
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\),
и выражаем величину, обратную λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v\frac{\lambda - \lambda e^{-i\alpha}}{h} = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda\left(1 + v\frac{\Delta t}{h} - v\frac{\Delta t}{h} e^{-i\alpha}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 + v\frac{\Delta t}{h} - v\frac{\Delta t}{h} e^{-i\alpha}.\) |
|
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы
(5.5) согласно условию (5.7) требуется, чтобы величины,
обратные собственным числам оператора перехода, были расположены вне или на
границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости.
1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle r = -v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 - r + r e^{-i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора
перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 - r;\ 0)\) и радиусом r.
Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.7), получаем
три различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая величинам \(\displaystyle 1/\lambda\),
при r < 1 находится внутри круга, соответствующего условию (5.7); при r > 1 - вне этого круга;
а при r = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v
неявная разностная схема (5.5) будет устойчива при выполнении следующего условия:
| |
\(\displaystyle r = -v\frac{\Delta t}{h} \ge 1.\) |
|
2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle q = v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda} = 1 + q - q e^{-i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора
перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 + q;\ 0)\) и радиусом q.
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении q (см. рисунок).
Таким образом, при положительном значении параметра v неявная разностная схема (5.5) будет устойчива.
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод,
что неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью
(5.5) будет устойчива при выполнении одного из условий:
| |
\(\displaystyle v > 0 \quad \text{или} \quad v\frac{\Delta t}{h} \le -1.\) |
(5.10) |
Из соотношения (5.10) видно, что в частном случае при положительном значении параметра v рассматриваемая
разностная схема является абсолютно устойчивой.
|
