Учебник · Глава 5
Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
7. Влияние наличия искомой функции в составе свободного члена на устойчивость разностных схем.
|
Математические модели химических реакторов могут содержать
дифференциальные уравнения типа (5.1), свободный член которых включает
искомую функцию u следующим образом:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v\frac{\partial u}{\partial x} = -ku + f(t, x), \qquad k \ge 0.\) |
(5.12) |
Следует знать, как это может повлиять на устойчивость разностных схем (5.4), (5.5).
Разностная схема (5.4) абсолютно устойчива при v < 0.
Для уравнения (5.12) она преобразуется к виду:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = -k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
Величины, обратные собственным числам оператора перехода, для данной разностной схемы будут
определяться соотношением:
| |
\(\displaystyle \frac{1}{\lambda} = 1 + k\Delta t - v\frac{\Delta t}{h} + v\frac{\Delta t}{h} e^{i\alpha} = 1 + k\Delta t + r - r e^{i\alpha}; \qquad r = -v\frac{\Delta t}{h} > 0.\) |
|
Следовательно, их расположение на комплексной плоскости будет соответствовать окружности с
центром в точке \(\displaystyle (1 + k\Delta t + r;\ 0)\) и радиусом r. Данная
окружность находится вне круга, соответствующего условию устойчивости (5.7) при любом значении r
(см. рисунок). Таким образом, при отрицательном значении параметра v наличие
функции u в свободном члене уравнения (5.12) не повлияет на абсолютную устойчивость
неявной разностной схемы с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью.
Аналогично можно доказать, что при v > 0 разностная
схема (5.5) также сохранит абсолютную устойчивость; отметим, что для
уравнения (5.12) она будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = -k u_j^{n+1} + f(t^n, x_j).\) |
|
|
