Учебник · Глава 5
Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
6. Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью.
|
6.2. Метод решения.
Рассмотрим метод решения разностной схемы (5.5). Разностный шаблон
(см. рисунок), характеризующий данную разностную схему, свидетельствует о том,
что она содержит две неизвестные величины - значения функции u на (n + 1)-ом шаге
по времени \(\displaystyle u_j^{n+1},\ u_{j-1}^{n+1}\). То есть, для определения величины \(\displaystyle u_j^{n+1}\) необходимо знать значение функции u в
соседней слева точке на разностной сетке.
Выражая \(\displaystyle u_j^{n+1}\) из разностной схемы (5.5), получаем рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = \frac{u_j^n + v\frac{\Delta t}{h} u_{j-1}^{n+1} + \Delta t\, f(t^n, x_j)}{1 + v\frac{\Delta t}{h}},\) |
(5.11) |
позволяющее последовательно рассчитать все значения функции u на (n + 1)-ом
шаге по времени \(\displaystyle u_j^{n+1},\ j = 2, \ldots, N\), если известна величина \(\displaystyle u_1^{n+1}\), которую можно определить из левого граничного условия:
| |
\(\displaystyle u_1^{n+1} = \varphi_1(t^{n+1}).\) |
|
Таким образом, неявная разностная схема (5.5) по сложности метода решения
не уступает соответствующей явной разностной схеме (5.3),
а в отношении устойчивости имеет очевидное преимущество. Основываясь на этом, мы рекомендуем
для численного решения дифференциального уравнения в частных производных 1-го порядка (5.1)
при положительном значении параметра v именно неявную разностную схему с аппроксимацией
производной по координате левой конечной разностью (5.5). Ниже
приводится алгоритм её решения (в виде блок-схемы).
|
