|
В заключение приведём сравнительную характеристику рекомендуемых
для использования разностных схем, аппроксимирующих одномерное дифференциальное
уравнение в частных производных 1-го порядка:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v\frac{\partial u}{\partial x} = f(t, x), \qquad x \in [0, 1], \quad t \in [0, 1].\) |
|
1. Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_{j+1}^{n+1} - u_j^{n+1}}{h} = f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h).\)
Абсолютно устойчива при v < 0.
Решается с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = \frac{u_j^n + v\frac{\Delta t}{h} u_{j+1}^{n+1} + \Delta t\, f(t^n, x_j)}{1 + v\frac{\Delta t}{h}}.\) |
|
Для решения требуется задание правого граничного условия по координате x, т.е.
| |
\(\displaystyle u(t, x = 1) = \psi(t).\) |
|
2. Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = f(t^n, x_j).\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h).\)
Абсолютно устойчива при v > 0.
Решается с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = \frac{u_j^n + v\frac{\Delta t}{h} u_{j-1}^{n+1} + \Delta t\, f(t^n, x_j)}{1 + v\frac{\Delta t}{h}}.\) |
|
Для решения требуется задание левого граничного условия по координате x, т.е.
| |
\(\displaystyle u(t, x = 0) = \varphi(t).\) |
|
Таким образом, определяющим фактором при выборе разностной
схемы для аппроксимации одномерного дифференциального уравнения в частных производных 1-го порядка
является знак параметра v.
Сформулируем правило выбора конечной разности
для аппроксимации производной первого порядка по координате в зависимости от знака стоящего перед
ней параметра v: для того, чтобы разностная схема была устойчива (условно устойчива в
случае явной разностной схемы и абсолютно устойчива в случае неявной разностной схемы) при
положительном v для аппроксимации первой производной по координате следует использовать
левую конечную разность, при отрицательном v - правую конечную разность. Кроме этого,
для решения разностной схемы при положительном v потребуется левое граничное условие, при
отрицательном v - правое граничное условие.
Отметим, что данное правило применимо только в случае, если
производная первого порядка по координате находится в левой части дифференциального уравнения
(т.е., если дифференциальное уравнение представлено в виде (5.1),
для которого проводились все исследования). Если же первая производная по координате находится в
правой части дифференциального уравнения, то её необходимо перенести в левую и только затем
применять правило выбора конечной разности.
|