Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих производную по координате первого порядка. Постановка задачи.

Учебник · Глава 6

Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих производную по координате первого порядка.

1. Постановка задачи.

В разделе "Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных" мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

\(\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} + v \frac{\partial c}{\partial x} = D_L \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - kc,\)

где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента; v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора; D_L - коэффициент диффузии.
Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям параболического типа. Однако оно отличается от уже изученных нами уравнений параболического типа наличием первой производной по координате. Рассмотрим влияние этой производной на характеристики и методику решения разностных схем, аппроксимирующих одномерное дифференциальное уравнение параболического типа.

Для простоты дальнейшего изложения мы будем рассматривать одномерные дифференциальные уравнения параболического типа, содержащие производную по координате первого порядка, в следующем общем виде:

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - ku + f(t, x); \qquad k \ge 0, \quad v > 0, \quad \sigma > 0.\)

(6.1)

Значение параметра v в общем случае может быть положительным или отрицательным. Напомним, что согласно правилу выбора конечной разности для аппроксимации производной первого порядка по координате при положительном v следует использовать левую конечную разность, при отрицательном v - правую конечную разность. Поэтому рассмотрим только случай v > 0 (случай v < 0 будет аналогичным при аппроксимации первой производной по координате левой конечной разностью). Также отдельно рассмотрим случай аппроксимации производной по координате первого порядка центральной конечной разностью.
Уравнение (6.1) следует дополнить начальным и граничными условиями (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):

\(\displaystyle u(t = 0, x) = \xi(x), \qquad u(t, x = 0) = \varphi_1(t), \qquad u(t, x = l) = \varphi_2(t).\)

← 8. Сравнительная характеристика изученных разностных схем 2.1. Исследование устойчивости →