|
4.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.3) с помощью
спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f(t^n, x_j)\), наличие которого, как известно, не оказывает
влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
| |
\(\displaystyle u_j^n = \lambda^n e^{i\alpha j} \quad\Rightarrow\quad \frac{\lambda^{n+1} e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha j}}{\Delta t} + v\frac{\lambda^n e^{i\alpha j} - \lambda^n e^{i\alpha(j-1)}}{h} = 0.\) |
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части
на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j}\),
и выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} + v\frac{1 - e^{-i\alpha}}{h} = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1 - v\frac{\Delta t}{h} + v\frac{\Delta t}{h} e^{-i\alpha}.\) |
|
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы
(5.3) согласно условию (5.6) требуется,
чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1,
центр которого находится в начале координат комплексной плоскости.
1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle r = -v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1 + r - r e^{-i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 + r;\ 0)\) и радиусом:
| |
\(\displaystyle \left| r e^{-i\alpha} \right| = \left| r\cos\alpha - i\sin\alpha \right| = \sqrt{r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha} = r.\) |
|
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении r
(см. рисунок). Таким образом, при отрицательном значении параметра v явная
разностная схема (5.3) будет неустойчива.
2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
| |
\(\displaystyle q = v\frac{\Delta t}{h} > 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1 - q + q e^{-i\alpha}.\) |
|
Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены
на комплексной плоскости на окружности с центром в точке \(\displaystyle (1 - q;\ 0)\) и радиусом q.
Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6), получаем
три различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая
собственным числам оператора перехода, при q < 1 находится внутри круга,
соответствующего условию (5.6); при q > 1 - вне этого круга; а при q = 1 совпадает с его границей.
Таким образом, при положительном значении параметра v явная разностная схема (5.3)
будет устойчива при выполнении следующего условия:
| |
\(\displaystyle q = v\frac{\Delta t}{h} \le 1.\) |
|
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что явная разностная схема с аппроксимацией
производной по координате левой конечной разностью (5.3) является условно устойчивой;
условие устойчивости имеет вид:
| |
\(\displaystyle 0 < v\frac{\Delta t}{h} \le 1.\) |
|
|
