Учебник · Глава 5
Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
5. Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью
|
5.2. Метод решения.
Рассмотрим метод решения разностной схемы (5.4).
Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий данную разностную схему,
свидетельствует о том, что она содержит две неизвестные величины - значения функции u на
(n + 1)-ом шаге по времени \(\displaystyle u_j^{n+1},\ u_{j+1}^{n+1}\). То есть, для определения величины \(\displaystyle u_j^{n+1}\) необходимо знать
значение функции u в соседней справа точке на разностной сетке.
Выражая \(\displaystyle u_j^{n+1}\) из разностной схемы (5.4), получаем рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = \frac{u_j^n + v\frac{\Delta t}{h} u_{j+1}^{n+1} + \Delta t\, f(t^n, x_j)}{1 + v\frac{\Delta t}{h}},\) |
(5.9) |
позволяющее последовательно рассчитать все значения функции u на (n + 1)-ом шаге
по времени \(\displaystyle u_j^{n+1},\ j = N-1, \ldots, 1\), если известна величина \(\displaystyle u_N^{n+1}\),
которую можно определить из правого граничного условия:
| |
\(\displaystyle u_N^{n+1} = \varphi_2(t^{n+1}).\) |
|
Таким образом, неявная разностная схема (5.4) по сложности
метода решения не уступает соответствующей явной разностной схеме (5.2), а в отношении устойчивости
имеет очевидное преимущество. Основываясь на этом, мы рекомендуем для численного решения
дифференциального уравнения в частных производных 1-го порядка (5.1) при отрицательном значении
параметра v именно неявную разностную схему с аппроксимацией производной по координате правой
конечной разностью (5.4). Ниже приводится алгоритм её решения (в виде блок-схемы).
|
