Учебник · Глава 13
Принцип замороженных коэффициентов.
2. Уравнения с нелинейным свободным членом.
|
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
свободный член которого является функцией квадрата искомой функции u:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - k u^2, \qquad k \ge 0.\) |
(13.7) |
Подобные уравнения входят в математические модели реакторов, в которых протекают химические реакции
второго порядка.
Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.7), свободный член представляют в следующем виде:
| |
\(\displaystyle k u^2 = (k u) \cdot u.\) |
|
В данной записи выражение в скобках будет играть роль коэффициента, зависящего от переменных t и x.
Тогда согласно принципу замороженных коэффициентов выражение (ku) должно
быть аппроксимировано на n-ом шаге по времени.
С учётом этого неявная разностная схема для уравнения (13.7) будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k u_j^n u_j^{n+1}.\) |
(13.8) |
Разностная схема (13.8) является абсолютно устойчивой
и решается с помощью метода прогонки.
Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h^2}, \qquad b_j^n = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h^2} + k u_j^n \Delta t, \qquad \xi_j^n = u_j^n.\) |
|
Если искомая функция u является физической величиной, то она не может быть отрицательна.
В этом случае зависимость коэффициента b от значений функции u не оказывает влияния на сходимость прогонки.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
свободный член которого является произвольной степенной функцией искомой функции u:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - k u^q, \qquad k \ge 0.\) |
(13.9) |
По аналогии с предыдущим случаем представим свободный член в виде произведения коэффициента,
зависящего от переменных t и x, и функции u в первой степени:
| |
\(\displaystyle k u^q = (k u^{q-1}) \cdot u.\) |
|
Тогда с учётом принципа замороженных коэффициентов неявная разностная схема для уравнения (13.9)
будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} - k (u_j^n)^{q-1} u_j^{n+1}.\) |
|
Данная разностная схема абсолютно устойчива,
решается с помощью метода прогонки; условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|