Учебник · Глава 13
Принцип замороженных коэффициентов.
2. Уравнения с нелинейным свободным членом.
|
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
свободный член которого является функцией квадрата искомой функции u:
| |
 |
(13.7) |
Подобные уравнения входят в математические модели реакторов, в которых протекают химические реакции
второго порядка.
Чтобы записать неявную разностную схему для уравнения (13.7), свободный член представляют в следующем виде:
В данной записи выражение в скобках будет играть роль коэффициента, зависящего от переменных t и x.
Тогда согласно принципу замороженных коэффициентов выражение (ku) должно
быть аппроксимировано на n-ом шаге по времени.
С учётом этого неявная разностная схема для уравнения (13.7) будет иметь вид:
| |
 |
(13.8) |
Разностная схема (13.8) является абсолютно устойчивой
и решается с помощью метода прогонки.
Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
Если искомая функция u является физической величиной, то она не может быть отрицательна.
В этом случае зависимость коэффициента b от значений функции u не оказывает влияния на сходимость прогонки.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
свободный член которого является произвольной степенной функцией искомой функции u:
| |
 |
(13.9) |
По аналогии с предыдущим случаем представим свободный член в виде произведения коэффициента,
зависящего от переменных t и x, и функции u в первой степени:
Тогда с учётом принципа замороженных коэффициентов неявная разностная схема для уравнения (13.9)
будет иметь вид:
Данная разностная схема абсолютно устойчива,
решается с помощью метода прогонки; условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.
|
