|
1.1. Исследование устойчивости явных разностных схем.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа,
в котором коэффициент при производной второго порядка по координате не является константой,
а зависит от переменных t и x:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma(t, x) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(t, x), \qquad x \in [0, b], \quad t \in [0, t_k].\) |
(13.1) |
Поскольку в математических моделях физико-химических процессов любой коэффициент
является физической величиной, то для любых значений переменных t и x должно выполняться условие:
| |
\(\displaystyle \forall t, x: \quad \sigma(t, x) \ge 0.\) |
|
Запишем для уравнения (13.1) явную разностную схему,
стабилизируя значение функции \(\displaystyle \sigma(t, x)\)
в точке \(\displaystyle (t^n, x_j)\) на разностной сетке:
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma(t^n, x_j) \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
(13.2) |
В разделе 3.4 было доказано, что такая разностная схема условно устойчива. Условием устойчивости
для случая, когда σ является константой, служит соотношение (3.12). Выясним, какой вид будет иметь
условие устойчивости для разностной схемы (13.2). Для этого выберем на разностной сетке произвольную
точку \(\displaystyle (\widetilde{t}, \widetilde{x})\):
| |
\(\displaystyle 0 < \widetilde{x} < b, \qquad 0 < \widetilde{t} < t_k.\) |
|
Запишем для уравнения (13.1) явную разностную схему с постоянным коэффициентом \(\displaystyle \sigma(\widetilde{t}, \widetilde{x})\):
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \sigma(\widetilde{t}, \widetilde{x}) \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(t^n, x_j).\) |
(13.3) |
Соотношение (3.12), являющееся условием устойчивости, для разностной схемы (13.3) имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2 \sigma(\widetilde{t}, \widetilde{x})}.\) |
(13.4) |
Однако точка \(\displaystyle (\widetilde{t}, \widetilde{x})\) - произвольно выбранная точка на разностной сетке, и, следовательно,
значение \(\displaystyle \sigma(\widetilde{t}, \widetilde{x})\) - произвольно выбранное значение,
которое может принимать функция \(\displaystyle \sigma(t, x)\) при заданных интервалах изменения
переменных t и x. Но для устойчивости разностной схемы (13.3) необходимо, чтобы условие (13.4)
выполнялось для любой точки \(\displaystyle (\widetilde{t}, \widetilde{x})\) на разностной сетке. Поэтому для записи условия (13.4) следует выбрать
максимальное значение, которое может принимать функция \(\displaystyle \sigma(t, x)\)
при заданных интервалах изменения переменных \(\displaystyle x \in [0, b], t \in [0, t_k]\):
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2 \max[\sigma(t, x)]}.\) |
|
Данное условие и является условием устойчивости явной разностной схемы (13.2).
Используя аналогичные рассуждения, можно получить условие
устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение
в частных производных первого порядка, в котором коэффициент при производной по координате
не является константой:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v(t, x) \frac{\partial u}{\partial x} = f(t, x); \\ \forall t, x: \ v(t, x) > 0, \quad \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v(t^n, x_j) \frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = f(t^n, x_j), \quad \frac{\Delta t}{h} \le \frac{1}{\max[v(t, x)]}; \\ \forall t, x: \ v(t, x) < 0, \quad \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v(t^n, x_j) \frac{u_{j+1}^n - u_j^n}{h} = f(t^n, x_j), \quad \frac{\Delta t}{h} \le \frac{1}{\max|v(t, x)|}.\) |
|
|