В разделе "Математическая модель процесса массовой кристаллизации из растворов - пример системы интегро-дифференциальных уравнений" мы рассматривали математическую модель, в которую помимо дифференциальных уравнений также входят интегро-дифференциальные уравнения, то есть уравнения, содержащие как производные, так и интегралы.
     Интегро-дифференциальные уравнения могут встречаться в любых моделях, описывающих полидисперсные гетерогенные среды, состоящие из сплошной фазы (газ или жидкость) и дисперсной фазы (включения твёрдых частиц, капель жидкости или газовых пузырьков). Скорости процессов, протекающих с участием дисперсной фазы, зависят, как правило, от размера включений. Чтобы это учесть при записи уравнений математической модели, всю дисперсную фазу рассматривают как совокупность r-фаз. Каждая r-фаза состоит из включений, размеры (объёмы) которых изменяются от r - dr до r + dr. Таким образом, в каждой из r-фаз размеры (объёмы) включений остаются постоянными, меняется только их число. Дисперсность гетерогенной фазы характеризуется функцией распределения включений по размерам , так что - число включений, размеры (объёмы) которых находятся в интервале значений от r до r + dr. Отметим, что значение может быть функцией как времени, так и пространственных координат, поэтому в общем случае рассматривают функцию ; тогда - число включений в момент времени t в точке x реактора, размеры которых находятся в интервале значений от r до r + dr. Уравнения, описывающие законы сохранения массы, импульса и энергии для всей дисперсной фазы, получают путём интегрирования соответствующих уравнений, записанных для r-фазы.
     Примерами интегро-дифференциальных уравнений (помимо рассмотренных выше уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации из растворов) могут служить следующие уравнения:

(14.1)

(14.2)

     Здесь v - скорость перемещения включений; A(r) - функция, характеризующая вероятность дробления включений размером r; - функция, характеризующая вероятность дробления включений размером с образованием включений размером r; - функция, характеризующая вероятность агрегации включений размерами и r.
     Первое слагаемое в правой части уравнения (14.1) описывает уменьшение числа включений r-фазы за счёт их дробления; второе слагаемое характеризует увеличение числа включений r-фазы за счёт дробления более крупных включений.
     Первое слагаемое в правой части уравнения (14.2) описывает увеличение числа включений r-фазы за счёт агрегации включений с размерами и ; второе слагаемое характеризует уменьшение числа включений r-фазы за счёт их агрегации со всеми остальными включениями.