|
3.3. Определение устойчивости разностных схем, аппроксимирующих уравнения математической модели процесса массовой кристаллизации из растворов.
Рассмотрим методику определения устойчивости разностных схем, аппроксимирующих
уравнения математической модели процесса массовой кристаллизации из растворов, с помощью тестовой задачи.
Для простоты рассмотрим только два уравнения модели: уравнение изменения концентрации раствора (15.2) и
уравнение баланса числа частиц (15.4).
Зададим тестовые функции для концентрации раствора, скорости роста
кристаллов и функции распределения кристаллов по размерам в экспоненциальной форме:
| |
\(\displaystyle \widetilde{c} = e^t, \qquad \widetilde{\eta} = k_1 e^t, \qquad \widetilde{f} = k_2 e^t e^r.\) |
(15.17) |
Представим уравнения, истинными решениями которых должны быть тестовые функции (15.17), в следующем виде:
| |
\(\displaystyle \frac{d \widetilde{c}}{dt} = -\int_0^R \rho_2^0 \widetilde{f} \, \widetilde{\eta} \, dr + \varphi_1(t); \qquad \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial t} + \frac{\partial (\widetilde{f} \, \widetilde{\eta})}{d r} = \varphi_2(t, r).\) |
|
Подставляя тестовые функции (15.17) в данные уравнения, определим вид неизвестных функций \(\displaystyle \varphi_1(t), \ \varphi_2(t, r):\)
Таким образом, уравнения, истинными решениями которых являются тестовые функции (15.17), имеют вид:
| |
\(\displaystyle \frac{d \widetilde{c}}{dt} = -\int_0^R \rho_2^0 \widetilde{f} \, \widetilde{\eta} \, dr + e^t + \rho_2^0 \, k_1 \, k_2 \, e^{2t} (e^R - 1); \qquad \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial t} + \frac{\partial (\widetilde{f} \, \widetilde{\eta})}{d r} = k_2 e^t e^r + k_1 k_2 e^{2t} e^r.\) |
(15.18) |
При этом уравнения (15.18) отличаются от уравнений (15.2) и (15.4) только видом свободных членов,
в состав которых не входят искомые функции. Зададим начальные и граничные условия для уравнений (15.18)
с помощью тестовых функций (15.17):
| |
\(\displaystyle \widetilde{c}\,(t = 0) = 1, \qquad \widetilde{f}\,(t = 0, r) = k_2 e^r, \qquad \widetilde{f}\,(t, r = 0) = k_2 e^t.\) |
|
Запишем для уравнений (15.18) разностные схемы, используя при этом принцип замороженных коэффициентов,
выражение (14.4) для аппроксимации интеграла и правило выбора конечной разности для аппроксимации
производной по r:
| |
\(\displaystyle \frac{\widetilde{c}^{\,n+1} - \widetilde{c}^{\,n}}{\Delta t} = -\sum_{j=1}^{N_r} \rho_2^0 \widetilde{f}_j^{\,n} \widetilde{\eta}_j^{\,n} \Delta r + e^{\Delta t \, n} + \rho_2^0 k_1 k_2 e^{2 \Delta t \, n} (e^R - 1); \qquad \frac{\widetilde{f}_j^{\,n+1} - \widetilde{f}_j^{\,n}}{\Delta t} + \frac{\widetilde{f}_j^{\,n+1} \widetilde{\eta}_j^{\,n} - \widetilde{f}_{j-1}^{\,n+1} \widetilde{\eta}_{j-1}^{\,n}}{\Delta r} = k_2 e^{\Delta t \, n} e^{\Delta r (j-1)} + k_1 k_2 e^{2 \Delta t \, n} e^{\Delta r (j-1)}.\) |
(15.19) |
Решив уравнения (15.18) с помощью разностных схем (15.19), мы сможем провести сравнение полученных численных значений со значениями тестовых функций (15.17):
| |
\(\displaystyle \left\| \widetilde{c}^{\,n} - e^{\Delta t \, n} \right\|; \qquad \left\| \widetilde{f}_j^{\,n} - k_2 e^{\Delta t \, n} e^{\Delta r (j-1)} \right\|.\) |
|
Если расхождения будут незначительны, то разностные схемы (15.19) можно считать устойчивыми и,
следовательно, разностные схемы (15.9) и (15.10), аппроксимирующие уравнения
(15.2) и (15.4), соответственно, также будут устойчивыми. Отметим, что
выражение для изменения функции \(\displaystyle \widetilde{\eta}\)
в систему (15.18) не входит, поэтому при решении тестовых разностных схем (15.19) для \(\displaystyle \widetilde{\eta}_j^n\)
можно использовать непосредственно тестовую функцию (15.17).
| |
\(\displaystyle \widetilde{\eta}_j^n = \widetilde{\eta}_{j-1}^n = k_1 e^{\Delta t \, n}.\) |
|
|
