Учебник · Глава 15
Решение сложных систем уравнений.
3. Определение устойчивости разностных схем с помощью тестовых задач.
|
3.1. Метод тестовых задач.
Для исследования устойчивости сложных разностных схем, описывающих системы
дифференциальных уравнений (то есть, когда исследование устойчивости с помощью спектрального метода
затруднительно или вообще невозможно), применяют метод тестовых задач.
С другой стороны, если известно истинное решение дифференциального уравнения, то его всегда можно сравнить с решением, полученным при использовании той или иной разностной схемы, и таким образом определить, устойчива она или нет:
 - решение разностной схемы в точке  ;
 - истинное решение исходного дифференциального уравнения в точке  .
Таким образом, суть метода тестовых задач заключается в следующем. Сначала необходимо задать некую функцию от независимых переменных, называемую тестом. Затем надо построить дифференциальное уравнение (тестовую задачу), для которого выбранный тест будет являться истинным решением; при этом новое дифференциальное уравнение должно отличаться от исходного только свободным членом типа (15.11). Далее, решая новое дифференциальное уравнение с помощью какой-либо разностной схемы, мы сможем сделать вывод о её устойчивости на основании сравнения полученных численных значений со значениями истинного решения (т.е., выбранного теста) в тех же точках разностной сетки. Если решение тестовой задачи подтверждает устойчивость разностной схемы, использовавшейся для её решения, то данную разностную схему также можно использовать для численного решения исходного дифференциального уравнения, истинное решение которого нам неизвестно. Если решение тестовой задачи свидетельствует о неустойчивости разностной схемы, использовавшейся для её решения, тогда следует выбрать другую разностную схему. Обратим внимание на то, что при выборе теста целесообразно использовать функцию такого же типа, как и в выражении для свободного члена (15.11): если выражение (15.11) является алгебраическим, то тест следует задавать в виде алгебраической функции; если выражение (15.11) является тригонометрическим, то тест следует задавать в виде тригонометрической функции; если выражение (15.11) является экспоненциальным, то тест следует задавать в виде экспоненты и т.д. |
