|
2.1. Уравнения модели.
Рассмотрим емкостной кристаллизатор периодического действия,
в котором происходит процесс массовой кристаллизации за счёт охлаждения раствора. Математическая модель
данного процесса базируется на законах сохранения массы, импульса и энергии. Так как рассматривается
аппарат идеального смешения, то можно допустить, что все градиенты (концентрации, температуры)
отсутствуют и скорости частиц не меняются.
Математическая модель процесса массовой кристаллизации, протекающего в емкостном кристаллизаторе, имеет вид:
уравнение изменения концентрации раствора
| |
\(\displaystyle \frac{dc}{dt} = -\int_0^R \rho_2^0 f \eta \, dr;\) |
(15.2) |
уравнение изменения температуры в реакторе
| |
\(\displaystyle \left[ \rho_1 C_{1T} + \rho_2^0 C_{2T} \int_0^R f \, r \, dr \right] \frac{dT}{dt} = \Delta H \int_0^R \rho_2^0 f \eta \, dr - K F (T - T_x);\) |
(15.3) |
уравнение баланса числа частиц
| |
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial (f \, \eta)}{d r} = 0;\) |
(15.4) |
выражение для скорости роста кристалла
| |
\(\displaystyle \eta = \frac{dr}{dt} = k_2 \, S_r \, (c - c_S)^m;\) |
(15.5) |
начальные условия
| |
\(\displaystyle c\,(t = 0) = c_0, \qquad T\,(t = 0) = T_0, \qquad f\,(t = 0, r) = 0;\) |
(15.6) |
граничное условие к уравнению (15.4)
| |
\(\displaystyle f\,(t, r = r_0) \cdot \eta\,(t, r = r_0) = I = k_1 (c - c_S)^p.\) |
(15.7) |
Здесь t - время; с - концентрация кристаллизующегося компонента;
Т - температура; \(\displaystyle \rho_1\) - плотность раствора;
\(\displaystyle \rho_2^0\) - плотность кристалла;
C1T , C2T - теплоёмкости раствора и кристалла, соответственно;
η - скорость роста кристаллов;
\(\displaystyle f(r)\,dr\) - число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr;
R - наибольший размер кристалла; r0 - размер зародыша; I - скорость зародышеобразования;
δH - тепловой эффект процесса; К - коэффициент теплопередачи; F - поверхность кристаллизатора;
Тх - температура хладагента;
\(\displaystyle c_S\) - равновесная концентрация раствора;
\(\displaystyle (c - c_S)\) - пересыщение раствора;
Sr - поверхность кристалла размером r; k2 - кинетическая константа скорости роста кристалла;
k1 - кинетическая константа скорости зародышеобразования; m, p - показатели степени при пересыщении.
Равновесную концентрацию в небольшом диапазоне изменения температур можно представить в виде:
| |
\(\displaystyle c_S = a + b T,\) |
(15.8) |
где a, b - константы.
|