Раздел 16. Записать неявную разностную схему для системы уравнений

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=0.3\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2uv$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}=0.2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}-2uv$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Оба уравнения — параболического типа. Связующий нелинейный член $2uv$ входит в оба уравнения. В уравнении (1) искомой является $u$, поэтому представляем $2uv=(2v)\cdot u$ и «замораживаем» множитель $v$ на $n$-м слое: $2v_j^{n}\,u_j^{n+1}$. В уравнении (2) искомой является $v$, поэтому $2uv=(2u)\cdot v$ и замораживаем $u$: $2u_j^{n}\,v_j^{n+1}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=0.3\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+2\,v_j^{n}\,u_j^{n+1}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}=0.2\,\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-2v_{j}^{n+1}+v_{j-1}^{n+1}}{h^2}-2\,u_j^{n}\,v_j^{n+1}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Оба уравнения с замороженными коэффициентами абсолютно устойчивы и решаются методом прогонки. Приведя уравнение (1) к виду $a_j u_{j-1}^{n+1}+b_j u_j^{n+1}+c_j u_{j+1}^{n+1}=\xi_j$, получаем $a_j=c_j=-0.3\dfrac{\Delta t}{h^2}$, $b_j=1+0.6\dfrac{\Delta t}{h^2}-2v_j^{n}\Delta t$, $\xi_j=u_j^{n}$; аналогично для (2). Порядок: 1) по известным с $n$-го слоя $u_j^n,v_j^n$ решаем прогонкой уравнение (1) и находим $u_j^{n+1}$; 2) затем прогонкой решаем уравнение (2) и находим $v_j^{n+1}$ (используя $u_j^{n}$); 3) переходим к следующему слою. Так связанная система распадается на два независимо разрешимых уравнения.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=0.5\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-3u^2 v$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}=0.7\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+3u^2 v$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Оба уравнения параболические; связующий нелинейный член $3u^2v$. В уравнении (1) искомая $u$: представляем $3u^2v=(3uv)\cdot u$ и замораживаем множитель $uv$ на $n$-м слое — $3u_j^{n}v_j^{n}\,u_j^{n+1}$. В уравнении (2) искомая $v$: $3u^2v=(3u^2)\cdot v$, замораживаем $u^2$ — $3(u_j^{n})^2\,v_j^{n+1}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=0.5\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}-3\,u_j^{n}v_j^{n}\,u_j^{n+1}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}=0.7\,\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-2v_{j}^{n+1}+v_{j-1}^{n+1}}{h^2}+3\,(u_j^{n})^2\,v_j^{n+1}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Обе схемы абсолютно устойчивы, решаются прогонкой. Для (1): $a_j=c_j=-0.5\dfrac{\Delta t}{h^2}$, $b_j=1+\dfrac{\Delta t}{h^2}+3u_j^{n}v_j^{n}\Delta t$, $\xi_j=u_j^{n}$ (диагональное преобладание сохраняется при $u,v\ge0$). Порядок шага: сначала прогонкой по уравнению (1) находим $u_j^{n+1}$, затем по уравнению (2) — $v_j^{n+1}$; далее следующий слой. Все «чужие» сомножители взяты с известного слоя — система разрешима.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$x\dfrac{\partial u}{\partial t}+x\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v-x^2$$

Уравнение (2):

$$t\dfrac{\partial v}{\partial t}+t\dfrac{\partial v}{\partial x}=u-t^2$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое с непостоянным коэффициентом $x$ при $\partial u/\partial t$ и при конвективном члене; его замораживаем в точке $x_j$ (он не зависит от $t$, поэтому это точное значение). Конвективный член стоит в левой части, коэффициент $v=x>0$, значит по правилу выбора берём левую разность. «Чужая» функция $v$ — на $n$-м слое: $v_j^{n}$; $x^2\to x_j^2$ — обычный свободный член.

Уравнение (2) — в частных производных 1-го порядка относительно $v$. Коэффициенты $t$ замораживаем на $t^{n}$. Конвективный член $t\,\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $t>0$ — левая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$x_j\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+x_j\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}-x_j^2$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$t^{n}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+t^{n}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=u_j^{n}-(t^{n})^2$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) после деления на $x_j$ приводится к трёхдиагональному виду и решается прогонкой (абсолютно устойчиво, коэффициент при второй производной положителен). Уравнение (2) — 1-го порядка: из него $v_j^{n+1}$ выражается рекуррентно (левая разность ⇒ нужно левое граничное условие, расчёт по $j$ слева направо):

$$v_j^{n+1}=\dfrac{t^{n}v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\big(u_j^{n}-(t^{n})^2\big)}{t^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}}.$$

Порядок: 1) прогонкой решаем (1) → $u_j^{n+1}$ (используя $v_j^{n}$); 2) рекуррентно по $j$ считаем $v_j^{n+1}$ (используя $u_j^{n}$); 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}=\dfrac{\partial v}{\partial x}+tx-u$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое с конвективным членом $\partial u/\partial x$ (коэффициент $v=1>0$) в левой части ⇒ левая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Конвективный член $\partial v/\partial x$ стоит в правой части — переносим в левую: $\partial v/\partial t-\partial v/\partial x=tx-u$. Теперь коэффициент при $v_x$ равен $-1<0$ ⇒ правая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$, свободный член $tx\to t^{n}x_j$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}-\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-v_j^{n+1}}{h}=t^{n}x_j-u_j^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) — прогонка ($a_j=c_j$? нет: появляется конвекция; $a_j=-\dfrac{\Delta t}{h^2}-\dfrac{\Delta t}{h}$, $b_j=1+2\dfrac{\Delta t}{h^2}+\dfrac{\Delta t}{h}$, $c_j=-\dfrac{\Delta t}{h^2}$, $\xi_j=u_j^{n}+\Delta t\,v_j^{n}$; сходимость прогонки выполнена). Уравнение (2) — 1-го порядка, правая разность ⇒ правое граничное условие, расчёт по $j$ справа налево, рекуррентно:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}v_{j+1}^{n+1}+\Delta t\,(t^{n}x_j-u_j^{n})}{1+\dfrac{\Delta t}{h}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$; 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$; 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$2\dfrac{\partial u}{\partial t}+t\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v-2t$$

Уравнение (2):

$$x\dfrac{\partial v}{\partial t}+\dfrac{\partial v}{\partial x}=2u+2x$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое. Коэффициент $t$ при конвективном члене замораживаем на $t^{n}$; член в левой части, $t>0$ ⇒ левая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$, свободный $-2t\to-2t^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Коэффициент $x$ при $\partial v/\partial t$ замораживаем в $x_j$; конвективный член $\partial v/\partial x$ в левой части с коэффициентом $+1>0$ ⇒ левая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$2\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+t^{n}\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}-2t^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$x_j\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=2u_j^{n}+2x_j$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (после деления на 2) — прогонка, абсолютно устойчиво. Уравнение (2) — 1-го порядка, левая разность ⇒ левое ГУ, расчёт слева направо:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{x_j v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\,(2u_j^{n}+2x_j)}{x_j+\dfrac{\Delta t}{h}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$ (с $v_j^{n}$); 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$ (с $u_j^{n}$); 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$t\dfrac{\partial u}{\partial t}-2x\dfrac{\partial u}{\partial x}=2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v$$

Уравнение (2):

$$t\dfrac{\partial v}{\partial t}=2x\dfrac{\partial v}{\partial x}+u$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое. Коэффициент $t$ при $\partial u/\partial t$ замораживаем на $t^{n}$. Конвективный член $-2x\,\partial u/\partial x$ в левой части, коэффициент $-2x<0$ ⇒ правая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Конвективный член $2x\,\partial v/\partial x$ в правой части — переносим в левую: $t\,\partial v/\partial t-2x\,\partial v/\partial x=u$; коэффициент $-2x<0$ ⇒ правая разность. Коэффициент $t\to t^{n}$, «чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$t^{n}\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}-2x_j\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}=2\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$t^{n}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}-2x_j\,\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-v_j^{n+1}}{h}=u_j^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (деление на $t^{n}$) — прогонка. Уравнение (2) — 1-го порядка, правая разность ⇒ правое ГУ, расчёт справа налево:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{t^{n}v_j^{n}+2x_j\dfrac{\Delta t}{h}v_{j+1}^{n+1}+\Delta t\,u_j^{n}}{t^{n}+2x_j\dfrac{\Delta t}{h}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$; 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$; 3) следующий слой. При $t^{n}>0$ (расчёт ведут с малого $t^0>0$) знаменатели положительны — схема разрешима.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$t\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v\,e^{t}$$

Уравнение (2):

$$e^{t}\dfrac{\partial v}{\partial t}-\dfrac{\partial v}{\partial x}=u-t$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое. Коэффициент $t$ при $\partial u/\partial t$ замораживаем на $t^{n}$. Свободный член $v\,e^{t}$ содержит «чужую» $v$ и непостоянный множитель $e^{t}$ — оба берём с $n$-го слоя: $v_j^{n}e^{t^{n}}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Коэффициент $e^{t}$ при $\partial v/\partial t$ замораживаем на $e^{t^{n}}$. Конвективный член $-\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $-1<0$ ⇒ правая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$t^{n}\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}e^{t^{n}}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$e^{t^{n}}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}-\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-v_j^{n+1}}{h}=u_j^{n}-t^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (деление на $t^{n}$) — прогонка. Уравнение (2) — 1-го порядка, правая разность ⇒ правое ГУ, справа налево:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{e^{t^{n}}v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}v_{j+1}^{n+1}+\Delta t\,(u_j^{n}-t^{n})}{e^{t^{n}}+\dfrac{\Delta t}{h}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$; 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$; 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}=x\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+e^{x}(1-v)$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}-e^{x}\dfrac{\partial v}{\partial x}=x-u$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое с непостоянным коэффициентом $\sigma=x$ при второй производной (замораживаем в $x_j$, точно, т.к. от $t$ не зависит). Свободный член $e^{x}(1-v)$ содержит «чужую» $v$ — её берём с $n$-го слоя; $e^{x}\to e^{x_j}$: $e^{x_j}(1-v_j^{n})$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Конвективный член $-e^{x}\,\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $-e^{x}<0$ ⇒ правая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=x_j\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+e^{x_j}\big(1-v_j^{n}\big)$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}-e^{x_j}\,\dfrac{v_{j+1}^{n+1}-v_j^{n+1}}{h}=x_j-u_j^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) — прогонка ($\sigma=x_j\ge0$, абсолютно устойчиво). Уравнение (2) — 1-го порядка, правая разность ⇒ правое ГУ, справа налево:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{v_j^{n}+e^{x_j}\dfrac{\Delta t}{h}v_{j+1}^{n+1}+\Delta t\,(x_j-u_j^{n})}{1+e^{x_j}\dfrac{\Delta t}{h}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$ (с $v_j^{n}$); 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$ (с $u_j^{n}$); 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v-t$$

Уравнение (2):

$$x\dfrac{\partial v}{\partial t}+t\dfrac{\partial v}{\partial x}=u$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое с конвективным членом $\partial u/\partial x$ (коэффициент $1>0$) в левой части ⇒ левая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$, свободный $-t\to-t^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Коэффициент $x$ при $\partial v/\partial t$ замораживаем в $x_j$; конвективный член $t\,\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $t>0$ ⇒ левая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}-t^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$x_j\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+t^{n}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=u_j^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) — прогонка. Уравнение (2) — 1-го порядка, левая разность ⇒ левое ГУ, слева направо:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{x_j v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\,u_j^{n}}{x_j+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$; 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$; 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$x\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}+\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}+t\dfrac{\partial v}{\partial x}=2u+t$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) раскрываем: $x\,\partial u/\partial t+x\,\partial u/\partial x=\partial^2u/\partial x^2+v$ — параболическое. Коэффициент $x$ (при $\partial u/\partial t$ и конвекции) замораживаем в $x_j$; конвективный член в левой части, коэффициент $x>0$ ⇒ левая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Конвективный член $t\,\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $t>0$ ⇒ левая разность (коэффициент $t$ заморожен на $t^{n}$). «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$x_j\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+x_j\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+t^{n}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=2u_j^{n}+t^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (деление на $x_j$) — прогонка. Уравнение (2) — 1-го порядка, левая разность ⇒ левое ГУ, слева направо:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\,(2u_j^{n}+t^{n})}{1+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$; 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$; 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$x\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+v-2$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}+x\dfrac{\partial v}{\partial x}=2x(u-x^2)$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое. Коэффициент $x$ при $\partial u/\partial t$ замораживаем в $x_j$. «Чужая» $v\to v_j^{n}$, свободный член $-2$ — константа.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Конвективный член $x\,\partial v/\partial x$ в левой части, коэффициент $x>0$ ⇒ левая разность. Правая часть $2x(u-x^2)$ содержит «чужую» $u\to u_j^{n}$: $2x_j(u_j^{n}-x_j^2)$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$x_j\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}=\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+v_j^{n}-2$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+x_j\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=2x_j\big(u_j^{n}-x_j^2\big)$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (деление на $x_j$) — прогонка. Уравнение (2) — 1-го порядка, левая разность ⇒ левое ГУ, слева направо:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}x_j v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\,2x_j(u_j^{n}-x_j^2)}{1+\dfrac{\Delta t}{h}x_j}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$ (с $v_j^{n}$); 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$ (с $u_j^{n}$); 3) следующий слой.

Метод

Метод (строго по курсу, гл. 15.1, разбор вопроса 23). Математическая модель состоит из системы уравнений, в каждое из которых входят и другие искомые функции. Чтобы записать разрешимую неявную разностную схему, применяют принцип замороженных коэффициентов: для каждого уравнения «своя» искомая функция берётся на искомом слое $n+1$, а все «чужие» функции (определяемые из других уравнений системы), нелинейные сомножители и непостоянные коэффициенты при производных — на известном $n$-м слое (на первом шаге — из начальных условий). Тогда каждое уравнение становится разрешимым независимо: параболическое — методом прогонки, уравнение в частных производных 1-го порядка — рекуррентно.

Используются стандартные операторы курса: $\dfrac{\partial u}{\partial t}\to\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}$, $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\to\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}$ (неявно, 2-й порядок по $x$). Для производной 1-го порядка по координате — правило выбора конечной разности: при коэффициенте $v>0$ — левая разность $\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}$, при $v<0$ — правая $\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-u_j^{n+1}}{h}$ (если конвективный член стоит в правой части — его сначала переносят в левую). Непостоянные коэффициенты замораживаются на $n$-м слое.

Исходная система

Уравнение (1):

$$e^{x}\dfrac{\partial u}{\partial t}+e^{t}\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^{t}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2v$$

Уравнение (2):

$$\dfrac{\partial v}{\partial t}+t\,e^{-x}\dfrac{\partial v}{\partial x}=u$$

Применение принципа замороженных коэффициентов

Уравнение (1) — параболическое. Непостоянные коэффициенты $e^{x}$ (при $\partial u/\partial t$), $e^{t}$ (при конвекции и при второй производной) замораживаем на $n$-м слое: $e^{x_j}$, $e^{t^{n}}$. Конвективный член в левой части, коэффициент $e^{t}>0$ ⇒ левая разность. «Чужая» $v\to v_j^{n}$.

Уравнение (2) — 1-го порядка. Коэффициент $t\,e^{-x}>0$ замораживаем как $t^{n}e^{-x_j}$; член в левой части ⇒ левая разность. «Чужая» $u\to u_j^{n}$.

Неявная разностная схема

Уравнение (1) (искомая функция $u$ — на слое $n+1$, «чужая» $v$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$e^{x_j}\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+e^{t^{n}}\,\dfrac{u_j^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{h}=e^{t^{n}}\,\dfrac{u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^2}+2v_j^{n}$$

Уравнение (2) (искомая функция $v$ — на слое $n+1$, «чужая» $u$ и непостоянные коэффициенты — на слое $n$):

$$\dfrac{v_j^{n+1}-v_j^{n}}{\Delta t}+t^{n}e^{-x_j}\,\dfrac{v_j^{n+1}-v_{j-1}^{n+1}}{h}=u_j^{n}$$

Разрешимость и порядок вычислений на шаге $n\to n+1$

Уравнение (1) (деление на $e^{x_j}$) — прогонка; коэффициент при второй производной $e^{t^{n}}>0$, схема абсолютно устойчива. Уравнение (2) — 1-го порядка, левая разность ⇒ левое ГУ, слева направо:

$$v_j^{n+1}=\dfrac{v_j^{n}+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}e^{-x_j}v_{j-1}^{n+1}+\Delta t\,u_j^{n}}{1+\dfrac{\Delta t}{h}t^{n}e^{-x_j}}.$$

Порядок: 1) прогонка (1) → $u_j^{n+1}$ (с $v_j^{n}$); 2) рекуррентно (2) → $v_j^{n+1}$ (с $u_j^{n}$); 3) следующий слой.