Раздел 23. **23.** Привести уравнение к виду, удобному для использования метода установления с применением схемы переменных направлений. Для каждой из подсхем: проверить сходимость прогонки; записать итерационное соотношение; найти $\alpha_1$, $\beta_1$; найти решение на правой границе. Записать условие для окончания итерационного процесса. Выбрать начальное приближение
Подробные решения задач раздела методами курса. Условия задач и весь список — на странице «Задачник».
Идея метода установления
Стационарное эллиптическое уравнение нельзя решить прямой разностной схемой (она неразрешима). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную — вводят фиктивную производную по времени $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}$ (гл. 11.2). Правила введения: производные 2-го порядка переносят в правую часть с положительным знаком, а фиктивную производную ставят в левую часть с положительным знаком. При $t\to\infty$ (независимые от времени ГУ и свободный член) $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to0$ — решение устанавливается. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс, $\Delta t$ — шаг итерации.
Приведение уравнения 23.1
Дано $2y\,u_{xx}+3x\,u_{yy}+5y\,u_{y}=xy+4u$. Производные 2-го порядка уже с положительными коэффициентами ($2y\ge0$, $3x\ge0$ на $[0,1]^2$); вводим фиктивную производную по времени:
$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=2y\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+3x\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}+5y\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-4\widetilde u-xy.$$
Группируем по направлениям: оператор по $x$ — $L_x u=2y\,u_{xx}$; оператор по $y$ — $L_y u=3x\,u_{yy}+5y\,u_{y}$; свободный член (вместе с реакцией) $f(x,y,u)=-4u-xy$. Здесь роль $\sigma$ играют переменные коэффициенты $\sigma_x=2y_k$, $\sigma_y=3x_j$.
Схема переменных направлений
Переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й идёт через промежуточный слой $n+1/2$ двумя подсхемами. На каждом полушаге присутствуют оба пространственных оператора, делённых пополам, но неявным попеременно становится то оператор по $x$, то по $y$. Свободный член записывается в первой подсхеме (аппроксимация на шаге $n+1/2$). Схема абсолютно устойчива и имеет порядок $O(\Delta t^{2},h_x^{2},h_y^{2})$, поэтому допускает грубый шаг итерации и требует $n<1/h$ итераций.
Подсхемы (центральная разность для $u_y$, аппроксимация $\lambda_{xx},\lambda_{yy}$ оператором (2.12)):
$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=y_k\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{3x_j}{2}\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+\frac{5y_k}{2}\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-4u_{j,k}^{n}-x_jy_k,$$
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=y_k\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{3x_j}{2}\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}+\frac{5y_k}{2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}.$$
(Множитель $\sigma/2$ для $u_{xx}$ дал $\tfrac12\cdot2y_k=y_k$.)
Итерационные (прогоночные) соотношения и коэффициенты
1-я подсхема — прогонка по $x$, $u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j$:
$$a_j=c_j=-y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}},\qquad b_j=1+2y_k\frac{\Delta t}{h_x^{2}},$$
$$\xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac{3x_j}{2}\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+\tfrac{5y_k}{2}\tfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-4u_{j,k}^{n}-x_jy_k\Big).$$
2-я подсхема — прогонка по $y$. Из-за конвективного члена $\tfrac{5y_k}{2}u_y$ трёхдиагональные коэффициенты несимметричны:
$$\tilde a_k=-\frac{3x_j}{2}\frac{\Delta t}{h_y^{2}}-\frac{5y_k}{2}\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde c_k=-\frac{3x_j}{2}\frac{\Delta t}{h_y^{2}}+\frac{5y_k}{2}\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde b_k=1+3x_j\frac{\Delta t}{h_y^{2}},$$
$$\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\,y_k\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2},\qquad u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k.$$
Сходимость прогонки
Для каждой подсхемы проверяем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) $|a_j|+|c_j|<|b_j|$. Внедиагональные коэффициенты по модулю в сумме дают $2\cdot\dfrac{\sigma}{2}\dfrac{\Delta t}{h^2}=\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$, а диагональный $|b_j|=1+\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}>\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$. Условие выполнено для обеих подсхем — прогонка сходится.
Для 1-й подсхемы $|a_j|+|c_j|=2y_k\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<1+2y_k\tfrac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$ — выполнено. Для 2-й при достаточно малом $h_y$ (когда $3x_j/h_y^2$ доминирует над $5y_k/(2h_y)$, т.е. $\tilde a_k,\tilde c_k<0$) тоже выполнено: $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=3x_j\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<1+3x_j\tfrac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k|$.
Прогоночные коэффициенты на границах ($\alpha_1,\beta_1$) и решение на правой границе
По $x$ (1-я подсхема). Левое ГУ 1-го рода $u(0,y)=0$: сравнивая $u_{1,k}^{n+1/2}=\alpha_1u_{2,k}^{n+1/2}+\beta_1$ с $u_{1,k}^{n+1/2}=0$, получаем $\alpha_1=0,\ \beta_1=0$. Правое ГУ 1-го рода $u(1,y)=y$: $u_{N,k}^{n+1/2}=y_k$.
По $y$ (2-я подсхема). Нижнее ГУ 2-го рода $u_y(x,0)=x$: аппроксимация $\tfrac{u_{j,2}^{n+1}-u_{j,1}^{n+1}}{h_y}=x_j$ даёт $\widetilde\alpha_1=1,\ \widetilde\beta_1=-h_y x_j$. Верхнее ГУ 3-го рода $u_y(x,1)=u(x,1)$ (т.е. $\varphi_2=1,\psi_2=0$): из $\tfrac{u_{j,N}^{n+1}-u_{j,N-1}^{n+1}}{h_y}=u_{j,N}^{n+1}$ и (4.15) $u_{j,N}^{n+1}=\dfrac{\widetilde\beta_{N-1}}{1-\widetilde\alpha_{N-1}-h_y}$.
Начальное приближение и условие окончания
Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член исходного уравнения: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-x_jy_k$.
Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет меньше заданной точности $\varepsilon$:
$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$
Алгоритм
1) $u^0=f=-xy$; 2) 1-я подсхема: $\alpha_1,\beta_1$ по левому ГУ, $\alpha_j,\beta_j$ по (4.13), $u_N^{n+1/2}$ по правому ГУ, обратный ход — получаем слой $n+1/2$; 3) 2-я подсхема — аналогично прогонкой по $y$ получаем слой $n+1$; 4) проверяем норму $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$, иначе повторяем.
Идея метода установления
Стационарное эллиптическое уравнение нельзя решить прямой разностной схемой (она неразрешима). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную — вводят фиктивную производную по времени $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}$ (гл. 11.2). Правила введения: производные 2-го порядка переносят в правую часть с положительным знаком, а фиктивную производную ставят в левую часть с положительным знаком. При $t\to\infty$ (независимые от времени ГУ и свободный член) $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to0$ — решение устанавливается. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс, $\Delta t$ — шаг итерации.
Приведение уравнения 23.2
Дано $-u_y+5u_x+0{,}8u_{xx}+1{,}2u_{yy}=7u$. Производные 2-го порядка уже с положительными коэффициентами. Вводим фиктивную производную:
$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=0{,}8\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+1{,}2\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}+5\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}-\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-7\widetilde u.$$
Оператор по $x$: $L_x u=0{,}8u_{xx}+5u_x$; оператор по $y$: $L_y u=1{,}2u_{yy}-u_y$; свободный член (реакция) $f=-7u$. Здесь $\sigma_x=0{,}8$, $\sigma_y=1{,}2$ — постоянны.
Схема переменных направлений
Переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й идёт через промежуточный слой $n+1/2$ двумя подсхемами. На каждом полушаге присутствуют оба пространственных оператора, делённых пополам, но неявным попеременно становится то оператор по $x$, то по $y$. Свободный член записывается в первой подсхеме (аппроксимация на шаге $n+1/2$). Схема абсолютно устойчива и имеет порядок $O(\Delta t^{2},h_x^{2},h_y^{2})$, поэтому допускает грубый шаг итерации и требует $n<1/h$ итераций.
$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=0{,}4\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{5}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+0{,}6\,\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}-\frac12\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-7u_{j,k}^{n},$$
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=0{,}4\,\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\frac{5}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+0{,}6\,\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}-\frac12\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}.$$
(Конвективный член $5u_x$, как и реакция $-7u$, по правилам схемы записан в первой подсхеме с источником.)
Итерационные соотношения и коэффициенты
1-я подсхема — прогонка по $x$ ($u_{xx}$ с $\sigma_x/2=0{,}4$, конвекция $5u_x$ неявно):
$$a_j=-0{,}4\frac{\Delta t}{h_x^{2}}-\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad c_j=-0{,}4\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+\frac{5}{2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+0{,}8\frac{\Delta t}{h_x^{2}},$$
$$\xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\Big(0{,}6\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}-\tfrac12\tfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-7u_{j,k}^{n}\Big),\quad u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j.$$
2-я подсхема — прогонка по $y$ ($u_{yy}$ с $0{,}6$, конвекция $-u_y$ неявно):
$$\tilde a_k=-0{,}6\frac{\Delta t}{h_y^{2}}+\frac12\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde c_k=-0{,}6\frac{\Delta t}{h_y^{2}}-\frac12\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde b_k=1+1{,}2\frac{\Delta t}{h_y^{2}},$$
$$\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\big(0{,}4\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}+\tfrac{5}{2}\tfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\big),\quad u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_k u_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k.$$
Сходимость прогонки
Для каждой подсхемы проверяем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) $|a_j|+|c_j|<|b_j|$. Внедиагональные коэффициенты по модулю в сумме дают $2\cdot\dfrac{\sigma}{2}\dfrac{\Delta t}{h^2}=\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$, а диагональный $|b_j|=1+\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}>\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$. Условие выполнено для обеих подсхем — прогонка сходится.
При $h_x\le2\sigma_x/5=0{,}32$ и $h_y\le2\sigma_y=2{,}4$ внедиагональные коэффициенты отрицательны, и $|a_j|+|c_j|=0{,}8\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<1+0{,}8\tfrac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$ (аналогично по $y$: $1{,}2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<1+1{,}2\tfrac{\Delta t}{h_y^2}$) — условие сходимости выполнено.
$\alpha_1,\beta_1$ и решение на правой границе
По $x$. Левое ГУ 3-го рода $u_x(0,y)=u(0,y)$ ($\varphi_1=1,\psi_1=0$): из $\tfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{1,k}^{n+1/2}$ получаем $\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_x},\ \beta_1=0$. Правое ГУ 3-го рода $u_x(1,y)=u(1,y)$: из $\tfrac{u_{N,k}^{n+1/2}-u_{N-1,k}^{n+1/2}}{h_x}=u_{N,k}^{n+1/2}$ и (4.15) $u_{N,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h_x}$.
По $y$. ГУ 1-го рода: $u(x,0)=e^{x}\Rightarrow\widetilde\alpha_1=0,\ \widetilde\beta_1=e^{x_j}$; $u(x,1)=e^{x+1}\Rightarrow u_{j,N}^{n+1}=e^{x_j+1}$.
Начальное приближение и условие окончания
Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член исходного уравнения: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-7u_{j,k}^{0}\Rightarrow u_{j,k}^{0}=0$.
Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет меньше заданной точности $\varepsilon$:
$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$
(Так как свободный член $-7u$ пропорционален самой функции, при нулевом приближении он равен нулю; принимают $u^0=0$.)
Алгоритм
1) $u^0=0$; 2) прогонка по $x$ (слой $n+1/2$): $\alpha_1,\beta_1$ из левого ГУ 3-го рода, $\alpha_j,\beta_j$ по (4.13), $u_N$ из правого ГУ 3-го рода, обратный ход; 3) прогонка по $y$ (слой $n+1$): $\widetilde\alpha_1,\widetilde\beta_1$ из $u(x,0)=e^x$, $u_N=e^{x+1}$, обратный ход; 4) проверка $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$.
Идея метода установления
Стационарное эллиптическое уравнение нельзя решить прямой разностной схемой (она неразрешима). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную — вводят фиктивную производную по времени $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}$ (гл. 11.2). Правила введения: производные 2-го порядка переносят в правую часть с положительным знаком, а фиктивную производную ставят в левую часть с положительным знаком. При $t\to\infty$ (независимые от времени ГУ и свободный член) $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to0$ — решение устанавливается. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс, $\Delta t$ — шаг итерации.
Приведение уравнения 23.3
Дано $2u_{xx}+3u_{yy}=u_x+u_y+2(u+2xy-1)$. Перенесём всё, кроме 2-х производных, вправо со своими знаками и введём фиктивную производную:
$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=2\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+3\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}-\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}-\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-2\widetilde u-4xy+2.$$
$L_x u=2u_{xx}-u_x$, $L_y u=3u_{yy}-u_y$, свободный член $f=-2u-4xy+2$ (реакция $-2u$ и источник $-4xy+2$). $\sigma_x=2$, $\sigma_y=3$.
Схема переменных направлений
Переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й идёт через промежуточный слой $n+1/2$ двумя подсхемами. На каждом полушаге присутствуют оба пространственных оператора, делённых пополам, но неявным попеременно становится то оператор по $x$, то по $y$. Свободный член записывается в первой подсхеме (аппроксимация на шаге $n+1/2$). Схема абсолютно устойчива и имеет порядок $O(\Delta t^{2},h_x^{2},h_y^{2})$, поэтому допускает грубый шаг итерации и требует $n<1/h$ итераций.
$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac12\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\frac32\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}-\frac12\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-2u_{j,k}^{n}-4x_jy_k+2,$$
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac12\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\frac32\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}-\frac12\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}.$$
(Здесь $\sigma_x/2=1$ при $\lambda_{xx}$, конвекция по $x$ с коэффициентом $-\tfrac12$.)
Итерационные соотношения и коэффициенты
1-я подсхема — прогонка по $x$:
$$a_j=-\frac{\Delta t}{h_x^{2}}-\frac12\frac{\Delta t}{2h_x},\quad c_j=-\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+\frac12\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+2\frac{\Delta t}{h_x^{2}},$$
$$\xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac32\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}-\tfrac12\tfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-2u_{j,k}^{n}-4x_jy_k+2\Big),\quad u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_ju_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j.$$
2-я подсхема — прогонка по $y$:
$$\tilde a_k=-\frac32\frac{\Delta t}{h_y^{2}}-\frac12\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde c_k=-\frac32\frac{\Delta t}{h_y^{2}}+\frac12\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde b_k=1+3\frac{\Delta t}{h_y^{2}},$$
$$\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\big(\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\tfrac12\tfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\big),\quad u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_ku_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k.$$
Сходимость прогонки
Для каждой подсхемы проверяем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) $|a_j|+|c_j|<|b_j|$. Внедиагональные коэффициенты по модулю в сумме дают $2\cdot\dfrac{\sigma}{2}\dfrac{\Delta t}{h^2}=\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$, а диагональный $|b_j|=1+\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}>\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$. Условие выполнено для обеих подсхем — прогонка сходится.
При $h_x\le2\sigma_x=4$ и $h_y\le2\sigma_y=6$ (всегда на $[0,1]$) знаки $a_j,c_j$ отрицательны, и $|a_j|+|c_j|=2\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<1+2\tfrac{\Delta t}{h_x^2}=|b_j|$, $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=3\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<1+3\tfrac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k|$ — выполнено.
$\alpha_1,\beta_1$ и решение на правой границе
По $x$. Левое ГУ 2-го рода $u_x(0,y)=1-2y$: $\tfrac{u_{2,k}^{n+1/2}-u_{1,k}^{n+1/2}}{h_x}=1-2y_k\Rightarrow\alpha_1=1,\ \beta_1=-h_x(1-2y_k)$. Правое ГУ 1-го рода $u(1,y)=1-y$: $u_{N,k}^{n+1/2}=1-y_k$.
По $y$. Нижнее ГУ 2-го рода $u_y(x,0)=1-2x$: $\widetilde\alpha_1=1,\ \widetilde\beta_1=-h_y(1-2x_j)$. Верхнее ГУ 1-го рода $u(x,1)=1-x$: $u_{j,N}^{n+1}=1-x_j$.
Начальное приближение и условие окончания
Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член исходного уравнения: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-2u_{j,k}^{0}-4x_jy_k+2\Rightarrow u_{j,k}^{0}=2-4x_jy_k$.
Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет меньше заданной точности $\varepsilon$:
$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$
(При нулевом приближении реакция $-2u^0$ полагается равной нулю либо берут свободный член без реакции $f=2-4xy$.)
Алгоритм
1) $u^0=2-4xy$; 2) прогонка по $x$ → слой $n+1/2$ ($\alpha_1,\beta_1$ из ГУ 2-го рода слева, $u_N$ из ГУ 1-го рода справа); 3) прогонка по $y$ → слой $n+1$; 4) проверка нормы $\le\varepsilon$ — при выполнении итерации останавливают.
Идея метода установления
Стационарное эллиптическое уравнение нельзя решить прямой разностной схемой (она неразрешима). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную — вводят фиктивную производную по времени $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}$ (гл. 11.2). Правила введения: производные 2-го порядка переносят в правую часть с положительным знаком, а фиктивную производную ставят в левую часть с положительным знаком. При $t\to\infty$ (независимые от времени ГУ и свободный член) $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to0$ — решение устанавливается. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс, $\Delta t$ — шаг итерации.
Приведение уравнения 23.4
Дано $4u_{xx}+7u_{yy}=2u_x-3u_y+6x(u-3x-2y)$. Раскрываем скобку и переносим:
$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=4\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+7\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}-2\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}+3\frac{\partial\widetilde u}{\partial y}-6x\,\widetilde u+18x^{2}+12xy.$$
$L_x u=4u_{xx}-2u_x$, $L_y u=7u_{yy}+3u_y$, $f=-6xu+18x^2+12xy$. $\sigma_x=4$, $\sigma_y=7$.
Схема переменных направлений
Переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й идёт через промежуточный слой $n+1/2$ двумя подсхемами. На каждом полушаге присутствуют оба пространственных оператора, делённых пополам, но неявным попеременно становится то оператор по $x$, то по $y$. Свободный член записывается в первой подсхеме (аппроксимация на шаге $n+1/2$). Схема абсолютно устойчива и имеет порядок $O(\Delta t^{2},h_x^{2},h_y^{2})$, поэтому допускает грубый шаг итерации и требует $n<1/h$ итераций.
$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=2\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{2}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\frac72\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+\frac{3}{2}\frac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-6x_ju_{j,k}^{n}+18x_j^{2}+12x_jy_k,$$
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=2\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{2}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+\frac72\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}+\frac{3}{2}\frac{u_{j,k+1}^{n+1}-u_{j,k-1}^{n+1}}{2h_y}.$$
Итерационные соотношения и коэффициенты
1-я подсхема — прогонка по $x$ ($\sigma_x/2=2$, конвекция $-2u_x$, т.е. $-\tfrac{2}{2}=-1$):
$$a_j=-2\frac{\Delta t}{h_x^{2}}-\frac{\Delta t}{2h_x},\quad c_j=-2\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+4\frac{\Delta t}{h_x^{2}},$$
$$\xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\Big(\tfrac72\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+\tfrac{3}{2}\tfrac{u_{j,k+1}^{n}-u_{j,k-1}^{n}}{2h_y}-6x_ju_{j,k}^{n}+18x_j^{2}+12x_jy_k\Big).$$
2-я подсхема — прогонка по $y$ ($\sigma_y/2=3{,}5$, конвекция $+3u_y$):
$$\tilde a_k=-\frac72\frac{\Delta t}{h_y^{2}}+\frac32\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde c_k=-\frac72\frac{\Delta t}{h_y^{2}}-\frac32\frac{\Delta t}{2h_y},\quad\tilde b_k=1+7\frac{\Delta t}{h_y^{2}},$$
$$\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\big(2\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\tfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\big),\quad u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_ku_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k.$$
Сходимость прогонки
Для каждой подсхемы проверяем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) $|a_j|+|c_j|<|b_j|$. Внедиагональные коэффициенты по модулю в сумме дают $2\cdot\dfrac{\sigma}{2}\dfrac{\Delta t}{h^2}=\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$, а диагональный $|b_j|=1+\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}>\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$. Условие выполнено для обеих подсхем — прогонка сходится.
При $h_x\le2\sigma_x/2=4$ и $h_y\le2\sigma_y/3\approx4{,}7$ (на $[0,1]$ всегда) $|a_j|+|c_j|=4\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$, $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=7\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<|\tilde b_k|$ — выполнено.
$\alpha_1,\beta_1$ и решение на правой границе
Все ГУ — 2-го рода. По $x$: $u_x(0,y)=3\Rightarrow\alpha_1=1,\ \beta_1=-3h_x$; $u_x(1,y)=3\Rightarrow u_{N,k}^{n+1/2}=\dfrac{3h_x+\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}}$.
По $y$: $u_y(x,0)=2\Rightarrow\widetilde\alpha_1=1,\ \widetilde\beta_1=-2h_y$; $u_y(x,1)=2\Rightarrow u_{j,N}^{n+1}=\dfrac{2h_y+\widetilde\beta_{N-1}}{1-\widetilde\alpha_{N-1}}$.
Замечание. Все четыре ГУ — 2-го рода (Неймана), поэтому решение определено с точностью до константы; чтобы итерации сошлись к единственному решению, фиксируют значение $u$ в одном узле (точное решение задачи $u=3x+2y$).
Начальное приближение и условие окончания
Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член исходного уравнения: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=-6x_ju_{j,k}^{0}+18x_j^{2}+12x_jy_k\Rightarrow u_{j,k}^{0}=18x_j^{2}+12x_jy_k$.
Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет меньше заданной точности $\varepsilon$:
$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$
Алгоритм
1) $u^0=18x^2+12xy$ (реакция при $u^0$ опускается); 2) прогонка по $x$ → $n+1/2$ (все ГУ 2-го рода); 3) прогонка по $y$ → $n+1$; 4) проверка $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$, с закреплением одного узла из-за чисто неймановских ГУ.
Идея метода установления
Стационарное эллиптическое уравнение нельзя решить прямой разностной схемой (она неразрешима). Поэтому стационарную задачу превращают в нестационарную — вводят фиктивную производную по времени $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}$ (гл. 11.2). Правила введения: производные 2-го порядка переносят в правую часть с положительным знаком, а фиктивную производную ставят в левую часть с положительным знаком. При $t\to\infty$ (независимые от времени ГУ и свободный член) $\widetilde u(x,y,t)\to u(x,y)$, $\dfrac{\partial\widetilde u}{\partial t}\to0$ — решение устанавливается. Пошаговое приближение к стационару — итерационный процесс, $\Delta t$ — шаг итерации.
Приведение уравнения 23.5
Дано $5u_{xx}+6u_{yy}-2xy\,u_x+2uy=0$. Производные 2-го порядка уже с положительными коэффициентами; вводим фиктивную производную:
$$\frac{\partial\widetilde u}{\partial t}=5\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial x^{2}}+6\frac{\partial^{2}\widetilde u}{\partial y^{2}}-2xy\frac{\partial\widetilde u}{\partial x}+2y\,\widetilde u.$$
$L_x u=5u_{xx}-2xy\,u_x$, $L_y u=6u_{yy}$, свободный член (реакция) $f=2y\,u$. $\sigma_x=5$, $\sigma_y=6$; коэффициент конвекции переменный $-2x_jy_k$.
Схема переменных направлений
Переход с $n$-го слоя на $(n{+}1)$-й идёт через промежуточный слой $n+1/2$ двумя подсхемами. На каждом полушаге присутствуют оба пространственных оператора, делённых пополам, но неявным попеременно становится то оператор по $x$, то по $y$. Свободный член записывается в первой подсхеме (аппроксимация на шаге $n+1/2$). Схема абсолютно устойчива и имеет порядок $O(\Delta t^{2},h_x^{2},h_y^{2})$, поэтому допускает грубый шаг итерации и требует $n<1/h$ итераций.
$$\frac{u_{j,k}^{n+1/2}-u_{j,k}^{n}}{\Delta t}=\frac52\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{2x_jy_k}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+3\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+2y_ku_{j,k}^{n},$$
$$\frac{u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t}=\frac52\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-\frac{2x_jy_k}{2}\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}+3\lambda_{yy}u_{j,k}^{n+1}.$$
($\sigma_x/2=2{,}5$, конвекция с $-x_jy_k$; $\sigma_y/2=3$.)
Итерационные соотношения и коэффициенты
1-я подсхема — прогонка по $x$:
$$a_j=-\frac52\frac{\Delta t}{h_x^{2}}-\frac{2x_jy_k}{2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad c_j=-\frac52\frac{\Delta t}{h_x^{2}}+\frac{2x_jy_k}{2}\frac{\Delta t}{2h_x},\quad b_j=1+5\frac{\Delta t}{h_x^{2}},$$
$$\xi_{j,k}^{n}=u_{j,k}^{n}+\Delta t\big(3\lambda_{yy}u_{j,k}^{n}+2y_ku_{j,k}^{n}\big),\quad u_{j,k}^{n+1/2}=\alpha_ju_{j+1,k}^{n+1/2}+\beta_j.$$
2-я подсхема — прогонка по $y$ (без конвекции, симметрична):
$$\tilde a_k=\tilde c_k=-3\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad\tilde b_k=1+6\frac{\Delta t}{h_y^{2}},\quad\tilde\xi_{j,k}^{n+1/2}=u_{j,k}^{n+1/2}+\Delta t\Big(\tfrac52\lambda_{xx}u_{j,k}^{n+1/2}-x_jy_k\tfrac{u_{j+1,k}^{n+1/2}-u_{j-1,k}^{n+1/2}}{2h_x}\Big),$$
$$u_{j,k}^{n+1}=\widetilde\alpha_ku_{j,k+1}^{n+1}+\widetilde\beta_k.$$
Сходимость прогонки
Для каждой подсхемы проверяем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) $|a_j|+|c_j|<|b_j|$. Внедиагональные коэффициенты по модулю в сумме дают $2\cdot\dfrac{\sigma}{2}\dfrac{\Delta t}{h^2}=\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$, а диагональный $|b_j|=1+\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}>\sigma\dfrac{\Delta t}{h^2}$. Условие выполнено для обеих подсхем — прогонка сходится.
Для 1-й подсхемы при $h_x\le\sigma_x/(x_jy_k)$ (на $[0,1]$: $5/(x_jy_k)\ge5$, выполняется при любом $h_x\le1$) знаки $a_j,c_j$ отрицательны, $|a_j|+|c_j|=5\tfrac{\Delta t}{h_x^2}<|b_j|$. Для 2-й подсхемы $|\tilde a_k|+|\tilde c_k|=6\tfrac{\Delta t}{h_y^2}<1+6\tfrac{\Delta t}{h_y^2}=|\tilde b_k|$ — выполнено.
$\alpha_1,\beta_1$ и решение на правой границе
По $x$. Левое ГУ 1-го рода $u(0,y)=0$: $\alpha_1=0,\ \beta_1=0$. Правое ГУ 3-го рода $u_x(1,y)=u(1,y)$ ($\varphi_2=1,\psi_2=0$): $u_{N,k}^{n+1/2}=\dfrac{\beta_{N-1}}{1-\alpha_{N-1}-h_x}$.
По $y$. Нижнее ГУ 3-го рода $3u_y(x,0)=u(x,0)$, т.е. $u_y(x,0)=\tfrac13u(x,0)$ ($\varphi_1=\tfrac13,\psi_1=0$): $\widetilde\alpha_1=\dfrac{1}{1+h_y/3},\ \widetilde\beta_1=0$. Верхнее ГУ 3-го рода $4u_y(x,1)=u(x,1)$, т.е. $u_y(x,1)=\tfrac14u(x,1)$ ($\varphi_2=\tfrac14$): $u_{j,N}^{n+1}=\dfrac{\widetilde\beta_{N-1}}{1-\widetilde\alpha_{N-1}-h_y/4}$.
Начальное приближение и условие окончания
Нулевая итерация (начальное условие из-за фиктивной производной) — свободный член исходного уравнения: $u_{j,k}^{0}=f(x_j,y_k)=2y_ku_{j,k}^{0}\Rightarrow u_{j,k}^{0}=0$.
Итерации продолжают, пока двумерная норма разности соседних приближений не станет меньше заданной точности $\varepsilon$:
$$\left\|u^{n+1}-u^{n}\right\|=\sqrt{h^{2}\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\left(u_{j,k}^{n+1}-u_{j,k}^{n}\right)^{2}}\le\varepsilon.$$
(Свободный член $2yu$ пропорционален $u$; при нулевом приближении он равен нулю, поэтому $u^0=0$. Заметим, что при $u^0\equiv0$ и однородных ГУ единственное решение задачи $u\equiv0$.)
Алгоритм
1) $u^0=0$; 2) прогонка по $x$ → $n+1/2$ ($\alpha_1=\beta_1=0$ слева, ГУ 3-го рода справа); 3) прогонка по $y$ → $n+1$ (ГУ 3-го рода на обеих границах); 4) проверка $\|u^{n+1}-u^n\|\le\varepsilon$.