|
В разделе "Примеры математических моделей,
содержащих дифференциальные уравнения в частных производных"
мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора
с продольным и поперечным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция.
Баланс по концентрации исходного реагента для стационарного режима имеет вид:
| |
\(\displaystyle v\frac{\partial c}{\partial x} = D_L\frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + D_R\frac{\partial^2 c}{\partial r^2} + \frac{D_R}{r}\frac{\partial c}{\partial r} - kc,\) |
|
где k - константа скорости химической реакции; с - концентрация исходного реагента;
v - линейная скорость потока; х - координата по длине реактора; r - координата по радиусу
реактора; DL , DR - коэффициенты диффузии в продольном и поперечном направлениях.
Данное уравнение является дифференциальным уравнением эллиптического типа.
Другим примером дифференциального уравнения эллиптического типа является уравнение теплопроводности для стационарного двумерного температурного поля:
| |
\(\displaystyle \lambda\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right) + q = 0,\) |
|
где Т - температура; \(\displaystyle \lambda\) - теплопроводность материала;
x, y - пространственные координаты; q - внутренний источник (сток) теплоты.
Для простоты дальнейшего изложения представим дифференциальное
уравнение эллиптического типа в следующем общем виде:
| |
\(\displaystyle \sigma\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) - ku + f(x, y) = 0; \qquad x \in [a, b], \quad y \in [c, d], \quad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\) |
(11.1) |
Уравнение (11.1) должно быть дополнено двумя граничными условиями по каждой из пространственных координат
(для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):
| |
\(\displaystyle \begin{cases} u(x = a, y) = \varphi_1(y), \\ u(x = b, y) = \varphi_2(y); \end{cases} \qquad \begin{cases} u(x, y = c) = \Psi_1(x), \\ u(x, y = d) = \Psi_2(x). \end{cases}\) |
|
|