|
В заключение приведём обобщение методов численного решения
дифференциальных уравнений эллиптического типа:
| |
\(\displaystyle \sigma\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) - ku + f(x, y) = 0; \qquad x \in [a, b], \quad y \in [c, d], \quad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\) |
(11.10) |
Для численного решения уравнений типа (11.10) используется метод установления, заключающийся во введении в
уравнение фиктивной производной по времени (т.е. преобразовании стационарной задачи в нестационарную):
| |
\(\displaystyle \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) - ku + f(x, y) = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{\partial \widetilde{u}}{\partial t} = \sigma \left( \frac{\partial^2 \widetilde{u}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \widetilde{u}}{\partial y^2} \right) - k\widetilde{u} + f(x, y).\) |
|
В силу независимости от времени граничных условий (соответствующих исходной стационарной задаче)
с течением времени \(\displaystyle (t \to \infty)\) производная по времени будет стремиться к нулю, а решение нестационарной задачи -
к решению исходной стационарной задачи:
| |
\(\displaystyle t \to \infty, \quad \tilde{u}(x, y, t) \to u(x, y), \quad \frac{\partial\tilde{u}}{\partial t} \to 0.\) |
|
Процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи
называют итерационным процессом.
Для осуществления итерационного процесса (т.е. для решения нестационарной
задачи) используются следующие разностные схемы:
1. явная разностная схема (метод простой итерации; рассматривается для случая k = 0)
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma( \lambda_{xx} u_{j,k}^{n} + \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} ) + f(x_j, y_k),\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2),\)
условно устойчива \(\displaystyle \Delta t \le \frac{h^2}{4\sigma},\)
решается с помощью итерационного соотношения
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = \frac{u_{j+1,k}^{n} + u_{j-1,k}^{n} + u_{j,k+1}^{n} + u_{j,k-1}^{n}}{4} + \frac{h^2}{4\sigma} f(x_j, y_k),\) |
|
требует \(\displaystyle n \sim \frac{1}{h^2}\) итераций;
2. схема расщепления
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f(x_j, y_k), \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1},\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2),\)
абсолютно устойчива,
каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,
требует \(\displaystyle n \sim \frac{1}{h}\) итераций;
3. схема переменных направлений
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^{n} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f(x_j, y_k), \quad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \frac{\sigma}{2} \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \frac{\sigma}{2} \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1},\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x^2, h_y^2),\)
абсолютно устойчива,
каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,
требует \(\displaystyle n < \frac{1}{h}\) итераций;
4. схема предиктор-корректор
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/4} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t/2} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/4}, \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^{n+1/4}}{\Delta t/2} = \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2}, \quad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2} - k u_{j,k}^{n+1/2} + f(x_j, y_k).\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h_x^2, h_y^2),\)
абсолютно устойчива,
каждая из подсхем предиктора решается с помощью метода прогонки,
корректор - с помощью итерационного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^{n} + \sigma \Delta t \, \lambda_{xx} u_{j,k}^{n+1/2} + \sigma \Delta t \, \lambda_{yy} u_{j,k}^{n+1/2} - k \Delta t \, u_{j,k}^{n+1/2} + \Delta t \, f(x_j, y_k),\) |
|
требует \(\displaystyle n < \frac{1}{h}\) итераций.
При использовании любой из перечисленных разностных схем в качестве нулевой итерации
( начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени)
задают свободный член:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^0 = f(x_j, y_k).\) |
|
Расчёт итераций продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся,
т.е. пока не будет выполняться условие:
| |
\(\displaystyle \left\|u^{n+1} - u^n\right\| = \sqrt{h^2\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}(u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n)^2} \le \varepsilon.\) |
|
Следует отметить, что метод установления требует соблюдения следующих
правил при введении фиктивной производной по времени:
1) исходное стационарное уравнение предварительно должно быть приведено к виду (11.10),
т.е. производные второго порядка должны находится в правой части уравнения и иметь положительный знак;
2) фиктивная производная по времени должна быть введена в левую часть уравнения и иметь
положительный знак.
|