Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа. Обобщение изученных методов.

Учебник · Глава 11

Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа.

7. Обобщение изученных методов.

В заключение приведём обобщение методов численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа:

(11.10)

Для численного решения уравнений типа (11.10) используется метод установления, заключающийся во введении в уравнение фиктивной производной по времени (т.е. преобразовании стационарной задачи в нестационарную):

В силу независимости от времени граничных условий (соответствующих исходной стационарной задаче) с течением времени

производная по времени будет стремиться к нулю, а решение нестационарной задачи - к решению исходной стационарной задачи:

Процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи называют итерационным процессом.
Для осуществления итерационного процесса (т.е. для решения нестационарной задачи) используются следующие разностные схемы:

1. явная разностная схема (метод простой итерации; рассматривается для случая k = 0)

имеет порядок аппроксимации

условно устойчива

решается с помощью итерационного соотношения

требует

итераций;

2. схема расщепления

имеет порядок аппроксимации

абсолютно устойчива,

каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,

требует

итераций;

3. схема переменных направлений

имеет порядок аппроксимации

абсолютно устойчива,

каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,

требует

итераций;

4. схема предиктор-корректор

имеет порядок аппроксимации

абсолютно устойчива,

каждая из подсхем предиктора решается с помощью метода прогонки, корректор - с помощью итерационного соотношения:

требует

итераций.

При использовании любой из перечисленных разностных схем в качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени) задают свободный член:

Расчёт итераций продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся, т.е. пока не будет выполняться условие:

Следует отметить, что метод установления требует соблюдения следующих правил при введении фиктивной производной по времени:
1) исходное стационарное уравнение предварительно должно быть приведено к виду (11.10), т.е. производные второго порядка должны находится в правой части уравнения и иметь положительный знак;
2) фиктивная производная по времени должна быть введена в левую часть уравнения и иметь положительный знак.

← 6. Метод установления с использованием схемы предиктор-корректор 8. Задания для самоконтроля →