|
Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в следующем общем виде:
| |
\(\displaystyle \frac{du}{dt} = f(t, u).\) |
(12.1) |
Уравнение (12.1) следует дополнить начальным условием:
| |
\(\displaystyle u(t = 0) = u^0.\) |
|
Запишем для уравнения (12.1) явную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} = f(t^n, u^n).\) |
(12.2) |
Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием явной
разностной схемы (12.2) называется явным методом Эйлера.
Разностная схема (12.2) имеет первый порядок аппроксимации по времени. Для её решения используется
рекуррентное соотношение:
| |
\(\displaystyle u^{n+1} = u^n + \Delta t \, f(t^n, u^n).\) |
|
Для анализа устойчивости явного метода Эйлера рассмотрим конкретный пример:
| |
\(\displaystyle \frac{du}{dt} = -ku; \qquad k > 0.\) |
(12.3) |
Явная разностная схема для уравнения (12.3) имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} = -ku^n.\) |
|
Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:
| |
\(\displaystyle u^n = \lambda^n \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1} - \lambda^n}{\Delta t} = -k\lambda^n.\) |
|
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n\),
и выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -k \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1 - k \Delta t.\) |
|
С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:
| |
\(\displaystyle \left| \lambda \right| \le 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \le 1 - k \Delta t \le 1.\) |
|
В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически.
Поэтому рассмотрим более подробно левое условие:
| |
\(\displaystyle -1 \le 1 - k \Delta t \quad \Rightarrow \quad \Delta t \le \frac{2}{k}.\) |
|
Полученное выражение является условием устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (12.3).
Таким образом, явный метод Эйлера является условно устойчивым и относится к методам с первым порядком точности.
|