Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Семейство методов Рунге-Кутта второго порядка.

Учебник · Глава 12

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Семейство методов Рунге-Кутта второго порядка.

Заменим в выражении для k₂ (12.7) коэффициенты при неизвестными параметрами :

Разностную схему для уравнения (12.1) представим в виде:

Тогда решение на (n + 1)-ом шаге по времени будет определяться рекуррентным соотношением:

(12.8)

Разложим функцию k₂ в ряд Тейлора:

Подставим данное выражение в рекуррентное соотношение (12.8):

(12.9)

Разложим функцию

в ряд Тейлора:

Данная формула с учётом равенств

примет следующий вид:

(12.10)

Сравнивая соотношения (12.9) и (12.10), получаем следующую систему уравнений:

(12.11)

Система (12.11) состоит из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому она не может иметь однозначного решения. Для определения значений неизвестных параметров необходимо задать значение одного из них (обычно задают значение параметра

); тогда значения остальных параметров можно определить из уравнений системы (12.11):

По этой причине принято говорить не о методе Рунге-Кутта второго порядка, а о семействе методов Рунге-Кутта второго порядка, поскольку в зависимости от выбранного значения параметра

мы получим тот или иной вид рекуррентного соотношения (12.8).
На практике используются, как правило, два случая:

Видно, что первый случай совпадает с методом Рунге-Кутта второго порядка, рассмотренным в предыдущем разделе.

← 3. Метод Рунге-Кутта второго порядка 5. Семейство методов Рунге-Кутта m-го порядка →