|
Рассмотрим метод решения уравнения (12.1), имеющий второй порядок точности.
Для этого разобьём пополам интервал \(\displaystyle \Delta t\) между точками
\(\displaystyle t^{n}\) и \(\displaystyle t^{n+1}\) (см. рисунок).
Полученную промежуточную точку обозначим, как \(\displaystyle t^{n+1/2}\). Запишем явную разностную схему,
аппроксимирующую уравнение (12.1) на первом полушаге интервала \(\displaystyle \Delta t\)
(т.е., на интервале \(\displaystyle [t^n, t^{n+1/2}]\)):
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1/2} - u^n}{\Delta t/2} = f(t^n, u^n).\) |
|
Следовательно, решение в точке \(\displaystyle t^{n+1/2}\) можно найти с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u^{n+1/2} = u^n + 0{,}5\Delta t \, f(t^n, u^n).\) |
(12.5) |
Зная решение в точке \(\displaystyle t^{n+1/2}\),
можно записать для уравнения (12.1) разностную схему, в которой производная по времени будет
аппроксимирована центральной конечной разностью:
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} = f(t^{n+1/2}, \ u^{n+1/2}),\) |
(12.6) |
где \(\displaystyle t^{n+1/2} = t^n + 0{,}5\Delta t.\) Видно, что правая часть разностной схемы (12.6)
аппроксимируется относительно точки \(\displaystyle t^{n+1/2}\). Следовательно, разностный оператор в левой части является
центральной конечной разностью, которая, как известно, имеет второй порядок аппроксимации.
Введём следующие обозначения:
| |
\(\displaystyle \tau = \Delta t; \quad k_1 = f(t^n, u^n); \quad k_2 = f(t^n + 0{,}5\tau, \ u^n + 0{,}5\tau f(t^n, u^n)) = f(t^n + 0{,}5\tau, \ u^n + 0{,}5\tau k_1).\) |
(12.7) |
С учётом рекуррентного соотношения (12.5) и обозначений (12.7) разностная схема (12.6) будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\tau} = f(t^{n+1/2}, \ u^{n+1/2}) = f(t^n + 0{,}5\tau, \ u^n + 0{,}5\tau f(t^n, u^n)) = k_2 .\) |
|
Таким образом, решение на (n + 1)-ом шаге по времени можно найти с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u^{n+1} = u^n + \tau k_2 .\) |
|
Описанный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка носит название
метода Рунге-Кутта 2-го порядка.
|
