Учебник · Глава 12
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
5. Семейство методов Рунге-Кутта m - го порядка.
|
Метод Рунге-Кутта m-го порядка включает следующие соотношения:
Методика определения неизвестных параметров \(\displaystyle \alpha_i, \beta_{ik}, \gamma_i\) аналогична той, которая была рассмотрена при описании
семейства методов Рунге-Кутта второго порядка. Соответствие между порядком метода Рунге-Кутта и порядком его точности
подчиняется следующему правилу:
при m < 5 порядок точности совпадает с m;
при m \(\displaystyle \ge\) 5 порядок точности равен m - 1.
Рассмотрим метод Рунге-Кутта третьего порядка:
| |
\(\displaystyle k_1 = f(t^n, \ u^n); \quad k_2 = f(t^n + \alpha_2 \tau, \ u^n + \beta_{21} \tau k_1); \quad k_3 = f(t^n + \alpha_3 \tau, \ u^n + \beta_{31} \tau k_1 + \beta_{32} \tau k_2); \quad \frac{u^{n+1} - u^n}{\tau} = \gamma_1 k_1 + \gamma_2 k_2 + \gamma_3 k_3.\) |
|
Значения параметров \(\displaystyle \alpha_i, \beta_{ik}, \gamma_i\), соответствующие наиболее часто используемому случаю, приведены в таблице.
| |
\(\displaystyle \text{Метод Рунге-Кутта 3-го порядка}\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline i & \alpha_i & \beta_{i1} & \beta_{i2} & \gamma_i \\\hline 1 & & & & 1/6 \\\hline 2 & 1/2 & 1/2 & & 4/6 \\\hline 3 & 1 & -1 & 2 & 1/6 \\\hline\end{array}\) |
|
Приведём значения параметров \(\displaystyle \alpha_i, \beta_{ik}, \gamma_i\),
соответствующие наиболее часто используемым случаям, для методов Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядков
(6-й порядок метода Рунге-Кутта соответствует 5-му порядку точности):
| |
\(\displaystyle \text{Метод Рунге-Кутта 4-го порядка}\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline i & \alpha_i & \beta_{i1} & \beta_{i2} & \beta_{i3} & \gamma_i \\\hline 1 & & & & & 1/6 \\\hline 2 & 1/2 & 1/2 & & & 2/6 \\\hline 3 & 1/2 & 0 & 1/2 & & 2/6 \\\hline 4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1/6 \\\hline\end{array}\) |
|
|
