Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Неявный метод Эйлера.

Учебник · Глава 12

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Неявный метод Эйлера.

Запишем для уравнения (12.1) неявную разностную схему:

(12.4)

Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием неявной разностной схемы (12.4) называется неявным методом Эйлера.
Также как и явная разностная схема (12.2), неявная разностная схема (12.4) имеет первый порядок аппроксимации по времени. Однако рекуррентное соотношение для её решения в общем виде не может быть получено (отметим, что оно вообще может быть получено не всегда).

Для анализа устойчивости неявного метода Эйлера рассмотрим неявную разностную схему, аппроксимирующую уравнение (12.3):

Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:

Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на

, и выражаем

Видно, что собственные числа оператора перехода удовлетворяют необходимому условию устойчивости разностных схем (3.8) при любом значении

; следовательно, неявная разностная схема, аппроксимирующая уравнение (12.3), является абсолютно устойчивой.

Таким образом, неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым; однако он, также как и явный метод Эйлера, относится к методам с первым порядком точности.

← 1. Явный метод Эйлера 3. Метод Рунге-Кутта второго порядка →