|
Запишем для уравнения (12.1) неявную разностную схему:
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} = f(t^n, u^{n+1}).\) |
(12.4) |
Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием неявной
разностной схемы (12.4) называется неявным методом Эйлера.
Также как и явная разностная схема (12.2), неявная разностная схема (12.4)
имеет первый порядок аппроксимации по времени. Однако рекуррентное соотношение для её решения в общем виде не может быть
получено (отметим, что оно вообще может быть получено не всегда).
Для анализа устойчивости неявного метода Эйлера рассмотрим неявную разностную схему,
аппроксимирующую уравнение (12.3):
| |
\(\displaystyle \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t} = -ku^{n+1}.\) |
|
Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:
| |
\(\displaystyle u^n = \lambda^n \quad \Rightarrow \quad \frac{\lambda^{n+1} - \lambda^n}{\Delta t} = -k\lambda^{n+1}.\) |
|
Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n\),
и выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -k\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{1 + k \Delta t}.\) |
|
Видно, что собственные числа оператора перехода удовлетворяют необходимому условию
устойчивости разностных схем (3.8) при любом значении \(\displaystyle \Delta t\); следовательно, неявная разностная схема,
аппроксимирующая уравнение (12.3), является абсолютно устойчивой.
Таким образом, неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым;
однако он, также как и явный метод Эйлера, относится к методам с первым порядком точности.
|