|
Запишем для уравнения (11.2) схему расщепления:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1/2} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma\frac{u_{j+1,k}^{n+1/2} - 2u_{j,k}^{n+1/2} + u_{j-1,k}^{n+1/2}}{h_x^2} - ku_{j,k}^{n+1/2} + f(x_j, y_k), \qquad \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^{n+1/2}}{\Delta t} = \sigma\frac{u_{j,k+1}^{n+1} - 2u_{j,k}^{n+1} + u_{j,k-1}^{n+1}}{h_y^2}.\) |
(11.7) |
Каждая из подсхем схемы расщепления (11.7), являясь аналогом неявной разностной схемы для одномерного
дифференциального уравнения параболического типа, обладает абсолютной устойчивостью. Поэтому значение
шага итерации в данном случае может быть выбрано произвольно в отличие от метода простой итерации,
для которого значение шага итерации задаётся с помощью соотношения (11.5). Выбор более грубого шага
итерации (по сравнению с методом простой итерации) позволяет существенно ускорить сходимость
итерационного процесса и уменьшить количество итераций:
| |
\(\displaystyle n \sim \frac{1}{h}.\) |
|
Каждая из подсхем схемы расщепления (11.7) решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты,
соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
для первой подсхемы
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma\frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma\frac{\Delta t}{h_x^2} + k\Delta t, \qquad \xi_{j,k}^n = u_{j,k}^n + \Delta t\, f(x_j, y_k);\) |
|
для второй подсхемы
| |
\(\displaystyle \tilde{a}_k = \tilde{c}_k = -\sigma\frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \tilde{b}_k = 1 + 2\sigma\frac{\Delta t}{h_y^2}, \qquad \tilde{\xi}_{j,k}^{n+1/2} = u_{j,k}^{n+1/2}.\) |
|
Легко видеть, что для обеих подсхем схемы расщепления (11.7) достаточное условие сходимости прогонки (4.16)
выполняется. Алгоритм решения схемы (11.7), а также методики определения прогоночных коэффициентов и
решения на правой границе аналогичны описанным ранее.
Также как и в случае метода простой итерации, в качестве нулевой итерации
( начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени)
обычно задают свободный член:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^0 = f(x_j, y_k).\) |
|
Расчёт итераций следует продолжать до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся,
т.е. пока не будет выполняться условие (11.3), в разностном представлении соответствующее неравенству:
| |
\(\displaystyle \left\|u^{n+1} - u^n\right\| = \sqrt{h^2\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}(u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n)^2} \le \varepsilon.\) |
|
В качестве итерационного выражения служит прогоночное соотношение (4.11), имеющее вид:
для первой подсхемы \(\displaystyle u_{j,k}^{n+1/2} = \alpha_j u_{j+1,k}^{n+1/2} + \beta_j;\)
для второй подсхемы \(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = \tilde{\alpha}_k u_{j,k+1}^{n+1} + \tilde{\beta}_k.\)
|