|
3.1. Методика решения.
Метод установления с использованием явной разностной схемы называют методом
простой итерации. Рассмотрим применение данного метода для решения дифференциальных уравнений эллиптического
типа для случая, когда свободный член уравнения не содержит искомую функцию u (т.е. для случая k = 0).
Явная разностная схема для уравнения (11.2) при k = 0 будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n}{\Delta t} = \sigma\left(\frac{u_{j+1,k}^n - 2u_{j,k}^n + u_{j-1,k}^n}{h_x^2} + \frac{u_{j,k+1}^n - 2u_{j,k}^n + u_{j,k-1}^n}{h_y^2}\right) + f(x_j, y_k).\) |
(11.4) |
В разделе 7.4.1 было доказано, что данная разностная схема условно устойчива.
Условием устойчивости при \(\displaystyle h_x = h_y = h\) является
соотношение (7.4a). Следовательно, максимальное значение шага итерации,
при котором разностная схема (11.4) будет устойчива,
определяется следующим выражением:
| |
\(\displaystyle \Delta t = \frac{h^2}{4\sigma}.\) |
(11.5) |
Выражая из разностной схемы (11.4) величину \(\displaystyle u_{j,k}^{n+1}\),
получаем рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^n + \Delta t\left[\frac{\sigma}{h^2}(u_{j+1,k}^n + u_{j-1,k}^n + u_{j,k+1}^n + u_{j,k-1}^n - 4u_{j,k}^n) + f(x_j, y_k)\right],\) |
|
которое с учётом равенства (11.5) преобразуется к виду:
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^n + \frac{h^2}{4\sigma}\left[-\frac{4\sigma}{h^2}u_{j,k}^n + \frac{\sigma}{h^2}(u_{j+1,k}^n + u_{j-1,k}^n + u_{j,k+1}^n + u_{j,k-1}^n) + f(x_j, y_k)\right] \quad \Rightarrow\) |
|
| |
\(\displaystyle \Rightarrow \qquad u_{j,k}^{n+1} = \frac{u_{j+1,k}^n + u_{j-1,k}^n + u_{j,k+1}^n + u_{j,k-1}^n}{4} + \frac{h^2}{4\sigma}f(x_j, y_k).\) |
(11.6) |
Выражение (11.6) является формулой простой итерации для дифференциальных уравнений эллиптического типа;
равенство (11.5) определяет величину шага итерации.
В качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения
в связи с введением фиктивной производной по времени) обычно задают свободный член исходного
дифференциального уравнения (11.1):
| |
\(\displaystyle u_{j,k}^0 = f(x_j, y_k).\) |
|
Расчёт итераций следует продолжать до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся,
т.е. пока не будет выполняться условие (11.3), в разностном представлении соответствующее неравенству:
| |
\(\displaystyle \left\|u^{n+1} - u^n\right\| = \sqrt{h^2\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}(u_{j,k}^{n+1} - u_{j,k}^n)^2} \le \varepsilon,\) |
|
где \(\displaystyle \varepsilon\) - некоторая наперёд заданная
положительная величина, характеризующая точность вычислений.
|