Учебник · Глава 11
Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа.
2. Метод установления.
|
Введём для дифференциального уравнения (11.1) двумерную разностную сетку и запишем разностную схему, используя для аппроксимации каждой из производных второго порядка разностный оператор (2.12):
Для численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа (также как и для решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка) используют метод установления, заключающийся в преобразовании стационарной задачи в нестационарную. С этой целью в уравнение (11.1), описывающее стационарную задачу, следует добавить фиктивную производную по времени:
Если при численном решении уравнения (11.2), описывающего нестационарную задачу, использовать граничные условия, соответствующие исходной стационарной задаче (11.1), т.е. граничные условия, не зависящие от времени, то с течением времени  производная по времени будет
стремиться к нулю, а решение  нестационарной задачи (11.2) - к решению стационарной задачи (11.1):
Таким образом, для численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа можно использовать разностные схемы, аппроксимирующие двумерные дифференциальные уравнения параболического типа. Напомним, что процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи называют итерационным процессом, переход от n-го шага к (n + 1)-му - итерацией, а значение  - шагом итерации.
|
