|
В заключение приведём обобщение методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
| |
\(\displaystyle v\frac{du}{dx} = \sigma\frac{d^2u}{dx^2} - ku + f(x); \qquad x \in [a, b], \quad \sigma > 0, \quad v > 0.\) |
(10.11) |
I. k > 0. Записывается разностная схема
| |
\(\displaystyle v\frac{u_j - u_{j-1}}{h} = \sigma\frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} - ku_j + f(x_j),\) |
|
для решения которой используется метод прогонки.
II. k = 0. Используется метод установления,
заключающийся во введении в исходное уравнение (10.11) фиктивной производной по времени
(т.е. преобразовании стационарной задачи в нестационарную):
| |
\(\displaystyle v\frac{du}{dx} = \sigma\frac{d^2u}{dx^2} + f(x) \qquad \to \qquad \frac{\partial\tilde{u}}{\partial t} + v\frac{\partial\tilde{u}}{\partial x} = \sigma\frac{\partial^2\tilde{u}}{\partial x^2} + f(x).\) |
|
В силу независимости от времени граничных условий (соответствующих исходной стационарной задаче)
с течением времени \(\displaystyle (t \to \infty)\) производная по времени будет стремиться к нулю,
а решение нестационарной задачи - к решению исходной стационарной задачи:
| |
\(\displaystyle t \to \infty, \quad \tilde{u}(x, t) \to [u(x)], \quad \frac{\partial\tilde{u}}{\partial t} \to 0.\) |
|
Процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи
называют итерационным процессом.
Для осуществления итерационного процесса (т.е. для решения нестационарной задачи)
используются следующие разностные схемы:
1. явная разностная схема (метод простой итерации)
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = \sigma\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(x_j),\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h),\)
условно устойчива \(\displaystyle \Delta t \le \frac{h^2}{vh + 2\sigma},\)
решается с помощью итерационного соотношения
| |
\(\displaystyle u_j^{n+1} = \frac{\sigma u_{j+1}^n + (\sigma + vh)u_{j-1}^n + h^2 f(x_j)}{vh + 2\sigma},\) |
|
требует \(\displaystyle n \sim \frac{1}{h^2}\) итераций;
2. неявная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + v\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} = \sigma\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + f(x_j),\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h),\)
абсолютно устойчива,
решается с помощью метода прогонки,
требует \(\displaystyle n \sim \frac{1}{h}\) итераций;
3. разностная схема Кранка-Николсона
| |
\(\displaystyle \frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} + \frac{v}{2}\frac{u_j^{n+1} - u_{j-1}^{n+1}}{h} + \frac{v}{2}\frac{u_j^n - u_{j-1}^n}{h} = \frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} + \frac{\sigma}{2}\frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} + f(x_j).\) |
|
имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2, h),\)
абсолютно устойчива,
решается с помощью метода прогонки,
требует \(\displaystyle n < \frac{1}{h}\) итераций.
При использовании любой из перечисленных разностных схем
в качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения в связи с введением
фиктивной производной по времени) задают свободный член:
| |
\(\displaystyle u_j^0 = f(x_j).\) |
|
Расчёт итераций продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся,
т.е. пока не будет выполняться условие:
| |
\(\displaystyle \left\|u^{n+1} - u^n\right\| = \sqrt{h\sum_{j=1}^{N}(u_j^{n+1} - u_j^n)^2} \le \varepsilon.\) |
|
Следует отметить, что метод установления требует соблюдения
следующих правил при введении фиктивной производной по времени:
1) исходное стационарное уравнение предварительно должно быть приведено к виду (10.11),
т.е. производная второго порядка должна находится в правой части уравнения и иметь положительный знак,
а производная первого порядка - в левой части уравнения;
2) фиктивная производная по времени должна быть введена в левую часть уравнения и иметь
положительный знак.
Напомним, что в случае v < 0 для аппроксимации
производной по координате первого порядка следует использовать правую конечную разность.
|