Учебник · Глава 10
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Анализ возможности использования метода прогонки.
|
Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в следующем общем виде:
| |
\(\displaystyle v\frac{du}{dx} = \sigma\frac{d^2u}{dx^2} - ku + f(x); \qquad x \in [a, b], \quad \sigma > 0, \quad v > 0.\) |
(10.1) |
Уравнение (10.1) следует дополнить граничными условиями (для определённости будем рассматривать
граничные условия 1-го рода):
| |
\(\displaystyle u(x = a) = \varphi_1, \qquad u(x = b) = \varphi_2.\) |
|
Запишем для уравнения (10.1) разностную схему, аппроксимируя производную второго порядка разностным
оператором (2.12), а производную первого порядка - левой конечной разностью (в соответствии с
правилом выбора конечных разностей для аппроксимации первых производных по координатам):
| |
\(\displaystyle v\frac{u_j - u_{j-1}}{h} = \sigma\frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{h^2} - ku_j + f(x_j).\) |
(10.2) |
Отметим, что в случае v < 0 для аппроксимации производной первого порядка следует использовать
правую конечную разность.
Приведём разностную схему (10.2) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\frac{\sigma}{h^2}u_{j+1} + \left(\frac{v}{h} + \frac{2\sigma}{h^2} + k\right)u_j - \left(\frac{v}{h} + \frac{\sigma}{h^2}\right)u_{j-1} = f(x_j).\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = -\frac{\sigma}{h^2}, \qquad b_j = \frac{v}{h} + \frac{2\sigma}{h^2} + k, \qquad c_j = -\frac{v}{h} - \frac{\sigma}{h^2}, \qquad \xi_j = f(x_j).\) |
|
Проверяя для разностной схемы (10.2) достаточное условие сходимости прогонки (4.16)
| |
\(\displaystyle \left|a_j\right| + \left|c_j\right| = \frac{v}{h} + \frac{2\sigma}{h^2} < \frac{v}{h} + \frac{2\sigma}{h^2} + k = \left|b_j\right|,\) |
|
приходим к выводу, что оно выполняется только при условии k > 0. Алгоритм решения
(в виде блок-схемы) разностной схемы (10.2) для этого случая представлен на рисунке.
При k = 0 достаточное условие сходимости прогонки (4.16)
не выполняется и, следовательно, для решения разностной схемы (10.2) в этом случае метод прогонки
использовать нельзя.
|
