|
10.2. Частные случаи.
Рассмотрим трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа,
содержащее не все производные первого и второго порядка, например:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + v_2 \frac{\partial u}{\partial y} + v_3 \frac{\partial u}{\partial z} = \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) - ku + f(t, x, y, z); \qquad v_2 > 0, \ v_3 > 0.\) |
(9.25) |
Схема расщепления для уравнения (9.25) имеет вид:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3} - 2u_{j,k,m}^{n+1/3} + u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}; \qquad \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t} + v_2 \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y} = \sigma \frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3} - 2u_{j,k,m}^{n+2/3} + u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}; \qquad \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t} + v_3 \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z} = 0.\) |
(9.26) |
В связи с отсутствием в уравнении (9.25) первой производной по х порядок аппроксимации схемы (9.26)
по этой координате будет выше, чем по y и z:
| |
\(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y, h_z).\) |
|
Первая и вторая подсхемы в схеме (9.26) являются аналогами неявной разностной схемы для одномерного
дифференциального уравнения параболического типа; они абсолютно устойчивы и решаются с помощью метода
прогонки. Третья подсхема в схеме (9.26) является аналогом неявной разностной схемы для одномерного
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка; она также абсолютно устойчива,
но решается с помощью рекуррентного соотношения:
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n+1} = \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} + v_3 \frac{\Delta t}{h_z} u_{j,k,m-1}^{n+1}}{1 + v_3 \frac{\Delta t}{h_z}}.\) |
|
Также следует отметить, что по координате z требуется только одно (а именно, левое) граничное условие.
Всё это необходимо учесть при составлении алгоритма решения схемы расщепления (9.26), аппроксимирующей
уравнение (9.25).
|