Учебник · Глава 9
Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.
5. Характеристика неявной разностной схемы.
|
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (9.4), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (9.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член  ,
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем
решение в виде гармоники:
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на  :
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу
из которой выражаем  :
Видно, что собственные числа оператора перехода удовлетворяют необходимому
условию устойчивости разностных схем (3.8) при любых значениях  ; следовательно, неявная разностная
схема (9.4) является абсолютно устойчивой.
Неявная разностная схема (9.4) содержит семь неизвестных величин -
значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Это означает, что без дополнительных
преобразований она неразрешима.
|
