|
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (9.4), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (9.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f_{j,k,m}^{n}\),
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем
решение в виде гармоники:
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n} = \lambda^n e^{i \alpha j} e^{i \beta k} e^{i \gamma m}, \qquad \alpha \in [0, 2\pi], \quad \beta \in [0, 2\pi], \quad \gamma \in [0, 2\pi];\)
| |
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j} e^{i \beta k} e^{i \gamma m}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \lambda \left( \frac{e^{i\alpha} - 2 + e^{-i\alpha}}{h_x^2} + \frac{e^{i\beta} - 2 + e^{-i\beta}}{h_y^2} + \frac{e^{i\gamma} - 2 + e^{-i\gamma}}{h_z^2} \right) - k\lambda.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\lambda \frac{\sigma}{h_x^2} 4\sin^2\frac{\alpha}{2} - \lambda \frac{\sigma}{h_y^2} 4\sin^2\frac{\beta}{2} - \lambda \frac{\sigma}{h_z^2} 4\sin^2\frac{\gamma}{2} - k\lambda,\) |
|
из которой выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \lambda = \frac{1}{1 + 4\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2\frac{\alpha}{2} + 4\sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2\frac{\beta}{2} + 4\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} \sin^2\frac{\gamma}{2} + k\,\Delta t}.\) |
|
Видно, что собственные числа оператора перехода удовлетворяют необходимому
условию устойчивости разностных схем (3.8) при любых значениях \(\displaystyle \Delta t,\ h_x,\ h_y,\ h_z\); следовательно, неявная разностная
схема (9.4) является абсолютно устойчивой.
Неявная разностная схема (9.4) содержит семь неизвестных величин -
значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Это означает, что без дополнительных
преобразований она неразрешима.
|