|
4.2. Метод решения.
Явная разностная схема (9.3) содержит одну неизвестную величину - значение функции
u на (n + 1)-ом шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы, получаем
рекуррентное соотношение
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n+1} = u_{j,k,m}^{n} + \sigma \Delta t \left( \lambda_{xx} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{yy} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{zz} u_{j,k,m}^{n} \right) - k \Delta t \, u_{j,k,m}^{n} + \Delta t \, f_{j,k,m}^{n},\)
| (9.6) |
позволяющее рассчитать все значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени
(при известных значениях на n-ом шаге),
кроме значений \(\displaystyle u_{1,k,m}^{n+1}, \ u_{N_x,k,m}^{n+1}, \ u_{j,1,m}^{n+1}, \ u_{j,N_y,m}^{n+1}, \ u_{j,k,1}^{n+1}, \ u_{j,k,N_z}^{n+1}\), определяемых с помощью граничных условий.
Если заданы граничные условия 1-го рода, то эти значения определяются непосредственно
из разностной аппроксимации граничных условий:
| |
\(\displaystyle \begin{cases} u_{1,k,m}^{n+1} = \varphi_1(t^{n+1}, y_k, z_m) \\ u_{N_x,k,m}^{n+1} = \varphi_2(t^{n+1}, y_k, z_m) \end{cases} \qquad \begin{cases} u_{j,1,m}^{n+1} = \Psi_1(t^{n+1}, x_j, z_m) \\ u_{j,N_y,m}^{n+1} = \Psi_2(t^{n+1}, x_j, z_m) \end{cases} \qquad \begin{cases} u_{j,k,1}^{n+1} = \zeta_1(t^{n+1}, x_j, y_k) \\ u_{j,k,N_z}^{n+1} = \zeta_2(t^{n+1}, x_j, y_k) \end{cases}\)
| |
Если заданы граничные условия 2-го или 3-го рода, то искомые значения можно определить,
выразив их из разностной аппроксимации граничных условий.
Ниже приводится алгоритм решения (в виде блок-схемы) явной разностной схемы
(9.3), аппроксимирующей трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа (9.1).
|
