|
6.3. Характеристика третьей подсхемы.
Третья подсхема (9.9) схемы расщепления, являясь аналогом неявной разностной схемы
для одномерного дифференциального уравнения параболического типа, обладает всеми свойствами последней:
она абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки.
Приведём подсхему (9.9) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} u_{j,k,m+1}^{n+1} + \left( 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} \right) u_{j,k,m}^{n+1} - \sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} u_{j,k,m-1}^{n+1} = u_{j,k,m}^{n+2/3}.\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle \widetilde{\widetilde{a}}_m = \widetilde{\widetilde{c}}_m = -\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{b}}_m = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2}, \qquad \widetilde{\widetilde{\xi}}_{j,k,m}^{n+2/3} = u_{j,k,m}^{n+2/3}.\) |
|
Легко видеть, что для третьей подсхемы (9.9) схемы расщепления достаточное условие
сходимости прогонки (4.16) выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| \widetilde{\widetilde{a}}_m \right| + \left| \widetilde{\widetilde{c}}_m \right| = 2\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} < 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} = \left| \widetilde{\widetilde{b}}_m \right|.\) |
|
Рекуррентное прогоночное соотношение для третьей подсхемы (9.9) имеет вид:
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n+1} = \widetilde{\widetilde{\alpha}}_m\, u_{j,k,m+1}^{n+1} + \widetilde{\widetilde{\beta}}_m.\) |
(9.14) |
Прогоночные коэффициенты определяются согласно соотношениям (4.13):
| |
\(\displaystyle \widetilde{\widetilde{\alpha}}_m = -\frac{\widetilde{\widetilde{a}}_m}{\widetilde{\widetilde{b}}_m + \widetilde{\widetilde{c}}_m\, \widetilde{\widetilde{\alpha}}_{m-1}}, \qquad \widetilde{\widetilde{\beta}}_m = \frac{\widetilde{\widetilde{\xi}}_{j,k,m}^{n+2/3} - \widetilde{\widetilde{c}}_m\, \widetilde{\widetilde{\beta}}_{m-1}}{\widetilde{\widetilde{b}}_m + \widetilde{\widetilde{c}}_m\, \widetilde{\widetilde{\alpha}}_{m-1}}.\) |
(9.15) |
Для определения значений прогоночных коэффициентов на 1-м шаге, т.е. \(\displaystyle \widetilde{\widetilde{\alpha}}_1,\ \widetilde{\widetilde{\beta}}_1\),
и решения на правой границе используются граничные условия по координате z. Методики определения,
а также последовательность вычислений (метод прогонки) аналогичны описанным ранее. Отличие состоит лишь в том, что соотношения
(9.14) и (9.15) включают переменные j и k, поэтому необходимо задать внешние циклы по этим переменным:
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} j = 2, \ldots, N_x - 1; \\ k = 2, \ldots, N_y - 1; \end{gathered}\) |
|
следовательно, при решении третьей подсхемы (9.9)
(т.е. на последней трети интервала δt) метод прогонки будет использован \(\displaystyle (N_x - 2)(N_y - 2)\) раза.
Результатом решения третьей подсхемы (9.9) схемы расщепления
являются значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени.
|