Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа. Разностная сетка для трёхмерных задач.

Учебник · Глава 9

Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа.

2. Разностная сетка для трёхмерных задач.

Запишем трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее первых производных по координатам x, y и z, в следующем общем виде:

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) - ku + f(t, x, y, z); \qquad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\)

(9.1)

Уравнение (9.1) должно быть дополнено начальным и двумя граничными условиями по каждой из пространственных координат (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):

\(\displaystyle u(t = 0, x, y, z) = \xi(x, y, z); \qquad \begin{cases} u(t, x = a, y, z) = \varphi_1(t, y, z), \\ u(t, x = b, y, z) = \varphi_2(t, y, z); \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y = c, z) = \Psi_1(t, x, z), \\ u(t, x, y = d, z) = \Psi_2(t, x, z); \end{cases} \qquad \begin{cases} u(t, x, y, z = p) = \zeta_1(t, x, y), \\ u(t, x, y, z = q) = \zeta_2(t, x, y). \end{cases}\)

Пусть для независимых переменных заданы следующие интервалы их изменения:

\(\displaystyle t \in \left[ 0, t_k \right], \qquad x \in \left[ a, b \right], \qquad y \in \left[ c, d \right], \qquad z \in \left[ p, q \right].\)

Разбивая каждый из этих интервалов на некоторое количество равных частей (по аналогии с тем, как это было сделано в случае двух независимых переменных), получим разностную сетку, которая в данном случае будет четырёхмерной. Введём следующие обозначения:
     n - порядковый номер точки деления по оси t;
     j - порядковый номер точки деления по оси x;
     k - порядковый номер точки деления по оси y;
     m - порядковый номер точки деления по оси z;
     \(\displaystyle t^{n+1} - t^n = \Delta t\) - величина интервала между точками по оси t;
     \(\displaystyle x_{j+1} - x_j = \Delta x = h_x\) - величина интервала между точками по оси x;
     \(\displaystyle y_{k+1} - y_k = \Delta y = h_y\) - величина интервала между точками по оси y;
     \(\displaystyle z_{m+1} - z_m = \Delta z = h_z\) - величина интервала между точками по оси z;
     \(\displaystyle u(t^n, x_j, y_k, z_m) = u_{j,k,m}^{n}\) - значение функции u, соответствующее точкам \(\displaystyle t^n, x_j, y_k, z_m\);
     \(\displaystyle f(t^n, x_j, y_k, z_m) = f_{j,k,m}^{n}\) - значение функции f, соответствующее точкам \(\displaystyle t^n, x_j, y_k, z_m\).
Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом:
     по оси t - n = 0, 1, 2, ..., M;
     по оси x - j = 1, 2, 3, ..., N_x;
     по оси y - k = 1, 2, 3, ..., N_y;
     по оси z - m = 1, 2, 3, ..., N_z.
Тогда значения переменных t, x, y и z в точках разностной сетки будут определяться согласно следующему правилу:

\(\displaystyle \begin{aligned}&t^0 = 0, \quad t^1 = \Delta t, \quad t^2 = 2\Delta t, \quad \ldots, \quad t^n = n \cdot \Delta t; \\&x_1 = a, \quad x_2 = a + h_x, \quad x_3 = a + 2h_x, \quad \ldots, \quad x_j = a + (j-1) h_x; \\&y_1 = c, \quad y_2 = c + h_y, \quad y_3 = c + 2h_y, \quad \ldots, \quad y_k = c + (k-1) h_y; \\&z_1 = p, \quad y_2 = p + h_z, \quad y_3 = p + 2h_z, \quad \ldots, \quad y_k = p + (m-1) h_z.\end{aligned}\)

← 1. Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа 3. Аппроксимация дифференциальных операторов →