|
6.1. Характеристика первой подсхемы.
Первая подсхема (9.7) схемы расщепления, являясь аналогом неявной разностной схемы
для одномерного дифференциального уравнения параболического типа, обладает всеми свойствами последней:
она абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки.
Приведём подсхему (9.7) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
| |
\(\displaystyle -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} u_{j+1,k,m}^{n+1/3} + \left( 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k\,\Delta t \right) u_{j,k,m}^{n+1/3} - \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} u_{j-1,k,m}^{n+1/3} = u_{j,k,m}^{n} + \Delta t\, f_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
| |
\(\displaystyle a_j = c_j = -\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2}, \qquad b_j = 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k\,\Delta t, \qquad \xi_{j,k}^{n} = u_{j,k,m}^{n} + \Delta t\, f_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Легко видеть, что для первой подсхемы (9.7) схемы расщепления достаточное условие сходимости прогонки (4.16)
выполняется:
| |
\(\displaystyle \left| a_j \right| + \left| c_j \right| = 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} < 1 + 2\sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} + k\,\Delta t = \left| b_j \right|.\) |
|
Рекуррентное прогоночное соотношение для первой подсхемы (9.7) имеет вид:
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n+1/3} = \alpha_j\, u_{j+1,k,m}^{n+1/3} + \beta_j.\) |
(9.10) |
Прогоночные коэффициенты определяются согласно соотношениям (4.13):
| |
\(\displaystyle \alpha_j = -\frac{a_j}{b_j + c_j\, \alpha_{j-1}}, \qquad \beta_j = \frac{\xi_{j,k,m}^{n} - c_j\, \beta_{j-1}}{b_j + c_j\, \alpha_{j-1}}.\) |
(9.11) |
Для определения значений прогоночных коэффициентов на 1-м шаге,
т.е. \(\displaystyle \alpha_1,\ \beta_1\), и решения на правой границе используются граничные условия по координате x.
Методики определения, а также последовательность вычислений (метод прогонки) аналогичны описанным ранее. Отличие
состоит лишь в том, что соотношения (9.10) и (9.11) включают переменные k и m, поэтому необходимо
задать внешние циклы по этим переменным:
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} k = 2, \ldots, N_y - 1; \\ m = 2, \ldots, N_z - 1; \end{gathered}\) |
|
следовательно, при решении первой подсхемы (9.7) (т.е. на первой трети интервала δt)
метод прогонки будет использован \(\displaystyle (N_y - 2)(N_z - 2)\) раза.
Результатом решения первой подсхемы (9.7) схемы расщепления являются значения
функции u на шаге по времени (n + 1/3), необходимые для решения второй подсхемы (9.8). Однако
следует отметить, что поскольку каждая из подсхем (9.7)-(9.9) по отдельности не аппроксимирует исходное
дифференциальное уравнение (9.1) (аппроксимация достигается только в результате последовательного решения
всех трёх подсхем), оценка погрешности значений функции u на шаге по времени (n + 1/3) не представляется
возможной. Близость к истинным значениям может быть гарантирована только для значений функции u на (n + 1)-ом
шаге по времени.
|