|
Для разрешения неявной разностной схемы (9.4), аппроксимирующей
дифференциальное уравнение (9.1), используется метод дробных шагов, уже рассматривавшийся нами при
изучении методов решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Преобразуем
с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (9.4) в схему расщепления.
В случае трёхмерных задач интервал δt
между точками \(\displaystyle t^{n}\) и \(\displaystyle t^{n+1}\) на разностной сетке расщепляется на три равные части;
полученные промежуточные точки обозначим, как \(\displaystyle t^{n+1/3}\) и \(\displaystyle t^{n+2/3}\) (см. рисунок).
На первой трети интервала δt записывается
первая подсхема, являющаяся неявной разностной схемой, в которой учитывается только производная второго порядка
по координате x:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/3} - 2u_{j,k,m}^{n+1/3} + u_{j-1,k,m}^{n+1/3}}{h_x^2} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
(9.7) |
На второй трети интервала δt
записывается вторая подсхема, являющаяся неявной разностной схемой, в которой учитывается
только производная второго порядка по координате y:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j,k+1,m}^{n+2/3} - 2u_{j,k,m}^{n+2/3} + u_{j,k-1,m}^{n+2/3}}{h_y^2}.\) |
(9.8) |
На последней трети интервала δt записывается третья подсхема,
являющаяся неявной разностной схемой, в которой учитывается только производная второго порядка по координате z:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t} = \sigma \frac{u_{j,k,m+1}^{n+1} - 2u_{j,k,m}^{n+1} + u_{j,k,m-1}^{n+1}}{h_z^2}.\) |
(9.9) |
Таким образом, схема расщепления для трёхмерного дифференциальные уравнения (9.1) состоит из трёх подсхем
(9.7)-(9.9). Складывая подсхемы (9.7)-(9.9), получаем соотношение, отличающееся от неявной
разностной схемы (9.4) только тем, что вторые производные по координатам x и y аппроксимируются
в нём не на (n + 1)-ом шаге по времени, а в точках (n + 1/3) и (n + 2/3), соответственно:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/3} + \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+2/3} + \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1} \right) - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Данное соотношение показывает, что схема расщепления (9.7)-(9.9) имеет такой же порядок аппроксимации,
как и неявная разностная схема (9.4):
| |
\(\displaystyle O(\Delta t,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2).\) |
|
Отметим, что свободный член уравнения (9.1) может быть учтён не в первой подсхеме
схемы расщепления (9.7)-(9.9), а во второй или в третьей; однако в этом случае он будет иметь вид:
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} \bullet\ \text{при учёте во второй подсхеме} \quad \ldots - k u_{j,k,m}^{n+2/3} + f_{j,k,m}^{n+1/3}, \\ \bullet\ \text{при учёте в третьей подсхеме} \quad \ldots - k u_{j,k,m}^{n+1} + f_{j,k,m}^{n+2/3}. \end{gathered}\) |
|
|
