|
8.1. Методика записи уравнений схемы.
Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (9.4)
в схему предиктор-корректор. Данная схема требует особого способа расщепления интервала δt (см. рисунок):
интервал δt между точками \(\displaystyle t^{n}\)
и \(\displaystyle t^{n+1}\) на разностной сетке расщепляется пополам (полученная промежуточная точка
обозначена, как \(\displaystyle t^{n+1/2}\)); интервал \(\displaystyle \Delta t/2\)
между точками \(\displaystyle t^{n}\) и \(\displaystyle t^{n+1/2}\) расщепляется на три равные части (полученные промежуточные
точки обозначены, как \(\displaystyle t^{n+1/6}\) и \(\displaystyle t^{n+1/3}\)).
На первой трети интервала \(\displaystyle \Delta t/2\) записывается неявная разностная схема,
в которой учитывается только производная второго порядка по координате x:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1/6} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t/2} = \sigma \frac{u_{j+1,k,m}^{n+1/6} - 2u_{j,k,m}^{n+1/6} + u_{j-1,k,m}^{n+1/6}}{h_x^2}.\) |
(9.17) |
На второй трети интервала \(\displaystyle \Delta t/2\) записывается неявная разностная схема, в которой учитывается
только производная второго порядка по координате y:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n+1/6}}{\Delta t/2} = \sigma \frac{u_{j,k+1,m}^{n+1/3} - 2u_{j,k,m}^{n+1/3} + u_{j,k-1,m}^{n+1/3}}{h_y^2}.\) |
(9.18) |
На последней трети интервала \(\displaystyle \Delta t/2\) записывается неявная
разностная схема, в которой учитывается только производная второго порядка по координате z:
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1/2} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t/2} = \sigma \frac{u_{j,k,m+1}^{n+1/2} - 2u_{j,k,m}^{n+1/2} + u_{j,k,m-1}^{n+1/2}}{h_z^2}.\) |
(9.19) |
Результатом последовательного решения подсхем (9.17)-(9.19), называемых в совокупности предиктором,
являются значения функции u на шаге по времени (n + 1/2). Для завершения расчётов
на всём интервале δt используется поправочное разностное соотношение (корректор), имеющее вид с учётом
обозначений (9.2):
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} + \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1/2} - k u_{j,k,m}^{n+1/2} + f_{j,k,m}^{n+1/2}.\) |
(9.20) |
Таким образом, схема предиктор-корректор в случае трёхмерных задач состоит из четырёх подсхем.
|
