|
В заключение приведём сравнительную характеристику разностных схем,
аппроксимирующих трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее первых
производных по координатам x, y и z:
| |
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \sigma \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) - ku + f(t, x, y, z); \qquad k \ge 0, \quad \sigma > 0.\) |
|
При записи разностных схем использованы обозначения (9.2).
1. Явная разностная схема
| |
\(\displaystyle \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \left( \lambda_{xx} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{yy} u_{j,k,m}^{n} + \lambda_{zz} u_{j,k,m}^{n} \right) - k u_{j,k,m}^{n} + f_{j,k,m}^{n}.\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2).\)
Условно устойчива \(\displaystyle \Delta t \le \frac{1}{\dfrac{2\sigma}{h_x^2} + \dfrac{2\sigma}{h_y^2} + \dfrac{2\sigma}{h_z^2} + \dfrac{k}{2}}.\)
Решается с помощью рекуррентного соотношения (9.6).
2. Схема расщепления
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/3} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}, \\ \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+2/3}, \qquad \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1}. \end{gathered}\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2)\).
Абсолютно устойчива.
Каждая подсхема решается с помощью метода прогонки.
3. Схема со стабилизирующей поправкой
| |
\(\displaystyle \begin{gathered} \frac{u_{j,k,m}^{n+1/3} - u_{j,k,m}^{n}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{xx}\, u_{j,k,m}^{n+1/3} + \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n} + \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n} - k u_{j,k,m}^{n+1/3} + f_{j,k,m}^{n}, \\ \frac{u_{j,k,m}^{n+2/3} - u_{j,k,m}^{n+1/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n+2/3} - \sigma \lambda_{yy}\, u_{j,k,m}^{n}, \\ \frac{u_{j,k,m}^{n+1} - u_{j,k,m}^{n+2/3}}{\Delta t} = \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n+1} - \sigma \lambda_{zz}\, u_{j,k,m}^{n}. \end{gathered}\) |
|
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t, h_x^2, h_y^2, h_z^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая подсхема решается с помощью метода прогонки.
4. Схема предиктор-корректор
Имеет порядок аппроксимации \(\displaystyle O(\Delta t^2,\ h_x^2,\ h_y^2,\ h_z^2).\)
Абсолютно устойчива.
Каждая из подсхем предиктора решается с помощью метода прогонки;
корректор (четвёртая подсхема) - с помощью рекуррентного соотношения (9.21).
|
