|
4.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость явной разностной схемы (9.3),
аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1), с помощью спектрального метода.
Для этого отбрасываем член \(\displaystyle f_{j,k,m}^{n}\), наличие которого, как известно,
не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники:
| |
\(\displaystyle u_{j,k,m}^{n} = \lambda^n e^{i \alpha j} e^{i \beta k} e^{i \gamma m}, \qquad \alpha \in [0, 2\pi], \quad \beta \in [0, 2\pi], \quad \gamma \in [0, 2\pi];\)
| |
Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на \(\displaystyle \lambda^n e^{i \alpha j} e^{i \beta k} e^{i \gamma m}\):
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = \sigma \left( \frac{e^{i \alpha} - 2 + e^{-i \alpha}}{h_x^2} + \frac{e^{i \beta} - 2 + e^{-i \beta}}{h_y^2} + \frac{e^{i \gamma} - 2 + e^{-i \gamma}}{h_z^2} \right) - k.\) |
|
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу
| |
\(\displaystyle \frac{\lambda - 1}{\Delta t} = -\frac{\sigma}{h_x^2} 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{\sigma}{h_y^2} 4 \sin^2 \frac{\beta}{2} - \frac{\sigma}{h_z^2} 4 \sin^2 \frac{\gamma}{2} - k,\) |
|
из которой выражаем λ:
| |
\(\displaystyle \lambda = 1 - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} - k \Delta t.\) |
|
С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:
| |
\(\displaystyle \left| \lambda \right| \le 1 \qquad \Rightarrow \qquad -1 \le 1 - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} - k \Delta t \le 1.\) |
|
В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически.
Поэтому рассмотрим более подробно левое условие:
| |
\(\displaystyle 1 - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} - 4 \sigma \frac{\Delta t}{h_z^2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} - k \Delta t \ge -1 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\Delta t}{h_x^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{\Delta t}{h_y^2} \sin^2 \frac{\beta}{2} + \frac{\Delta t}{h_z^2} \sin^2 \frac{\gamma}{2} + \frac{k \Delta t}{4 \sigma} \le \frac{1}{2 \sigma}.\) |
|
Чтобы гарантировать устойчивость разностной схемы (9.3) независимо от значений α,
β и γ, следует перейти к более строгому условию, задавая для \(\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2}, \ \sin^2 \frac{\beta}{2}, \ \sin^2 \frac{\gamma}{2}\) максимально возможное значение, равное 1:
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h_x^2} + \frac{\Delta t}{h_y^2} + \frac{\Delta t}{h_z^2} + \frac{k \Delta t}{4 \sigma} \le \frac{1}{2 \sigma} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta t \le \frac{1}{\frac{2 \sigma}{h_x^2} + \frac{2 \sigma}{h_y^2} + \frac{2 \sigma}{h_z^2} + \frac{k}{2}}.\) |
(9.5) |
Выражение (9.5) является условием устойчивости явной разностной схемы (9.3),
аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1). В случае отсутствия в уравнении (9.1)
свободного члена (т.е. при k = 0), а также если интервалы между точками по осям x, y и z на
разностной сетке задать равными
| |
\(\displaystyle h_x = h_y = h_z = h,\) |
|
выражение (9.5) примет более простой вид:
| |
\(\displaystyle \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{6 \sigma}.\) |
|
Сравнивая данное выражение с соотношениями (3.12) и (7.4a) (условиями устойчивости явной разностной схемы
для случаев одномерной и двумерной задач, соответственно), можно получить условие устойчивости явной
разностной схемы, аппроксимирующей N-мерное дифференциальное уравнение параболического типа:
| |
\(\displaystyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Размерность пространства} & 1 & 2 & 3 & N \\ \hline \text{Условие устойчивости} & \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2 \sigma} & \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{4 \sigma} & \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{6 \sigma} & \frac{\Delta t}{h^2} \le \frac{1}{2 N \sigma} \\ \hline \end{array}\) |
|
|